3協(xié)方差傳播律及權(quán)6

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1、誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)測(cè)繪工程學(xué)院鮑建寬第3章協(xié)方差傳播律及權(quán)第三章協(xié)方差傳播律及權(quán)第三章協(xié)方差傳播律及權(quán)要求：掌握協(xié)方差傳播律的意義、計(jì)算方法及應(yīng)用；掌握權(quán)的定義和常用的定權(quán)方法；掌握協(xié)因數(shù)的定義及協(xié)因數(shù)傳播律的應(yīng)用。重點(diǎn)：協(xié)方差傳播律；權(quán)與定權(quán)的常用方法；協(xié)因數(shù)傳播律。第三章協(xié)方差傳播律及權(quán)授課內(nèi)容3-1協(xié)方差傳播律3-2協(xié)方差傳播律的應(yīng)用3-3權(quán)與定權(quán)的常用方法3-4協(xié)因數(shù)與權(quán)陣3-5協(xié)因數(shù)傳播律3-6由真誤差計(jì)算中誤差及其實(shí)際應(yīng)用3-7系統(tǒng)誤差的傳播綜合練習(xí)協(xié)方差傳播律：描述觀測(cè)量的精度(方差)與其函

2、數(shù)的精度(方差)之間關(guān)系的規(guī)律(公式)。§3-1協(xié)方差傳播律一、概述直接觀測(cè)量數(shù)值真誤差精度(方差)觀測(cè)量的函數(shù)數(shù)值真誤差精度(方差)從測(cè)量工作的現(xiàn)狀可以看出，觀測(cè)值函數(shù)與觀測(cè)值之間的關(guān)系可分為兩種情況：⑴線性函數(shù)（如觀測(cè)高差與高程的關(guān)系）⑵非線性函數(shù)(觀測(cè)角度、邊長(zhǎng)與待定點(diǎn)坐標(biāo)的的關(guān)系）因此，分別從線性函數(shù)和非線性函數(shù)兩種情況研究協(xié)方差傳播律?！?-1協(xié)方差傳播律§3-1協(xié)方差傳播律二、一個(gè)線性函數(shù)的方差設(shè)有觀測(cè)值X,數(shù)學(xué)期望為μX,協(xié)方差陣為DX：X的線性函數(shù):如何求Z的方差？為求Z的方差，我們需從方差的定

3、義入手。根據(jù)方差的定義，Z的方差為：由數(shù)學(xué)期望運(yùn)算可得：將Z的函數(shù)式以及數(shù)學(xué)期望E(Z)代入得：則函數(shù)Z的方差為（公式1）以上就是已知觀測(cè)量的方差,求其函數(shù)方差的公式。也稱為“協(xié)方差傳播律”?！?-1協(xié)方差傳播律由上推導(dǎo)可得出以下結(jié)論：觀測(cè)值X的協(xié)方差陣為DX，其函數(shù)為：方差(傳播率公式)的純量形式為：可見(jiàn)：若DX為對(duì)角陣時(shí)，協(xié)方差傳播律即為“誤差傳播律”。例[1-2]在1：500的圖上，量得某兩點(diǎn)間的距離d=23.4mm,d的量測(cè)中誤差σd=±0.2mm，求該兩點(diǎn)實(shí)地距離S及中誤差σS。解：練習(xí)題最后寫(xiě)成:§

4、3-1協(xié)方差傳播律三、多個(gè)線性函數(shù)的方差陣設(shè)有觀測(cè)值X,數(shù)學(xué)期望為μX,協(xié)方差陣為DX，若有X的t個(gè)線性函數(shù)為:表示為矩陣形式:如何求Z的方差陣？根據(jù)方差陣的定義，Z的方差陣為：由數(shù)學(xué)期望運(yùn)算可得：將Z的函數(shù)式以及數(shù)學(xué)期望E(Z)代入得：（公式2）可以看出線性函數(shù)的協(xié)方差和多個(gè)線性函數(shù)的協(xié)方差陣在形式上完全相同,且推導(dǎo)過(guò)程也相同;所不同的是：DZZ前者是一個(gè)函數(shù)值的方差（1行1列）;而后者是t個(gè)函數(shù)值的協(xié)方差陣(t行t列)。即：前者是后者的特殊情況。例4：已知向量，且：若有函數(shù)：并記，試求。練習(xí)題解：函數(shù)式利用

5、協(xié)方差傳播律本題關(guān)健是：將函數(shù)式轉(zhuǎn)換為“同一變量”L的形式?！?-1協(xié)方差傳播律四、兩組線性函數(shù)的互協(xié)方差陣設(shè)有觀測(cè)值X,數(shù)學(xué)期望為μX,協(xié)方差陣為DX，若有X的2組線性函數(shù)為:如何求Z關(guān)于Y的互協(xié)方差陣？根據(jù)互協(xié)方差陣的定義,可得:再利用數(shù)學(xué)期望傳播律，得：同理,可得:（公式3）例5:若有函數(shù),已知X1和X2的協(xié)方差陣D12時(shí),試求Y對(duì)Z的協(xié)方差陣DYZ。解：故：練習(xí)題§3-1協(xié)方差傳播律五、非線性函數(shù)的方差傳播率設(shè)有觀測(cè)值X,數(shù)學(xué)期望為μX,協(xié)方差陣為DX，若有X的非線性函數(shù)為:如何求Z的方差陣？即解決這類

6、問(wèn)題的關(guān)鍵是必需先將非線性函數(shù)線性化,得到和前面已推導(dǎo)出的公式“一致”的形式。因此，如何將非線性函數(shù)線性化，是我們先要解決的問(wèn)題。非線性函數(shù)的線性化的方法是：---將函數(shù)按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，略去高次項(xiàng)⑴泰勒公式如果函數(shù)f(x)在x0的某一鄰域內(nèi)具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則在該鄰域內(nèi)f(x)展開(kāi)為當(dāng)x非常接近x0時(shí)，則可以舍去二次以上各項(xiàng)，即線性函數(shù)⑵多元函數(shù)f(X)=f(X1,X2,…Xn)，X的近似值X0，按泰勒公式把f(X)在X0處展開(kāi),并略去高次項(xiàng)為和前述的線性函數(shù)形式一致若令：上式即為函數(shù)Z=f(X)的全微分

7、式，和前面的線性化函數(shù)的系數(shù)陣一致。即：用泰勒公式展開(kāi)線性化非線性函數(shù)等價(jià)于對(duì)非線性函數(shù)兩邊全微分則，前式可表示為：例7：已知角度觀測(cè)向量試求函數(shù)的中誤差。練習(xí)題解：非線性函數(shù)兩邊全微分得：為什么除ρ″按方差傳播律：中誤差為：注：先取對(duì)數(shù)然后再全微分能簡(jiǎn)化計(jì)算。1）按要求寫(xiě)出函數(shù)式；2）若是非線性函數(shù)式，則先對(duì)函數(shù)式兩邊求全微分；3）將函數(shù)式（或微分關(guān)系式）寫(xiě)成矩陣形式（有時(shí)要顧及單位的統(tǒng)一）；4）應(yīng)用協(xié)方差傳播律公式求方差或協(xié)方差陣。歸納應(yīng)用協(xié)方差傳播律的計(jì)算步驟：§3-1協(xié)方差傳播律應(yīng)用協(xié)方差傳播率解決精度

8、問(wèn)題的步驟：1.確定觀測(cè)向量X，及其方差陣DXX2.建立欲計(jì)算精度的量Y與觀測(cè)向量X的函數(shù)關(guān)系若為非線性函數(shù)，則線性化（全微分即可）3.利用傳播率公式計(jì)算注意單位統(tǒng)一。§3-2協(xié)方差傳播律的應(yīng)用一．水準(zhǔn)測(cè)量的精度設(shè)水準(zhǔn)測(cè)量中每一測(cè)站觀測(cè)高差的精度相同,其方差均為,若某水準(zhǔn)路線有N個(gè)測(cè)站，則其高差的方差和中誤差為在平坦地區(qū)的水準(zhǔn)測(cè)量中，每公里的測(cè)站數(shù)大致相等，因此，每公里觀測(cè)高差的方差相