一個(gè)混沌糾纏系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析.pdf

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1、第35卷第3期溫州大學(xué)學(xué)報(bào)·自然科學(xué)版2014年8月、，ol35．No3JournalofWenzhouUniversity。NaturalSciencesAug，2014一個(gè)混沌糾纏系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析楊敏，俞建寧，張建剛，安新磊(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅蘭州730070)摘要：通過(guò)一系列動(dòng)力學(xué)分析，驗(yàn)證了一個(gè)糾纏系統(tǒng)是混沌的．當(dāng)混沌糾纏實(shí)現(xiàn)時(shí)，所有的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的鞍結(jié)點(diǎn)．?dāng)?shù)值計(jì)算顯示這個(gè)系統(tǒng)有一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，這表明該系統(tǒng)是混沌的．通過(guò)局部放大的分岔圖驗(yàn)證了系統(tǒng)由倍周期分岔通向混沌的過(guò)程，并分析了該混沌系統(tǒng)的Hopf分岔現(xiàn)象．

2、關(guān)鍵詞：混沌糾纏；Hopf分岔；Lyapunov指數(shù)；數(shù)值仿真中圖分類(lèi)號(hào)：O415．5文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1674．3563(2014)03—0012．06DoI：10．3875~．issn．1674．3563．2014．03．002本文的PDF文件可以從xuebao．WZU．edu．cn獲得氣象學(xué)家Lorenzo]在1963年首次在一個(gè)三維自治系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了混沌吸引子．學(xué)者們?cè)谘芯炕煦缋碚摷捌鋺?yīng)用的過(guò)程中，不斷認(rèn)識(shí)到混沌理論的研究?jī)r(jià)值及應(yīng)用價(jià)值．隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對(duì)混沌理論的深入研究和工程實(shí)際的需要，各種各樣的非線(xiàn)性混沌系統(tǒng)被相繼提出[

3、1．近年來(lái)，人們不僅研究非線(xiàn)性對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響，而且開(kāi)始探索利用分岔、混沌等非線(xiàn)性現(xiàn)象造福人類(lèi)，設(shè)計(jì)和建造新的人工混沌系統(tǒng)已經(jīng)成為研究熱點(diǎn)【】．文獻(xiàn)[6]提出了混沌糾纏的概念，它是一種新的產(chǎn)生混沌的方法，基本原理是通過(guò)糾纏函數(shù)糾纏兩個(gè)或多個(gè)穩(wěn)定的線(xiàn)性子系統(tǒng)來(lái)產(chǎn)生一個(gè)人造的混沌系統(tǒng)，混沌糾纏提供了更簡(jiǎn)單的方法來(lái)設(shè)計(jì)和構(gòu)建新的混沌吸引子．在實(shí)際中混沌糾纏可以被用來(lái)作為一個(gè)指導(dǎo)原則，以有效地構(gòu)造人工混沌系統(tǒng)．文獻(xiàn)[6]提出了一個(gè)新的糾纏系統(tǒng)，但此系統(tǒng)只用來(lái)舉例，并沒(méi)有驗(yàn)證其是否是混沌的，也沒(méi)有做任何動(dòng)力學(xué)分析．本文經(jīng)過(guò)一系列動(dòng)力學(xué)分析，驗(yàn)證了該糾

4、纏系統(tǒng)是混沌的．1混沌吸引子當(dāng)通過(guò)一些非線(xiàn)性函數(shù)進(jìn)行糾纏時(shí)，如果兩個(gè)或多個(gè)線(xiàn)性子系統(tǒng)能產(chǎn)生混沌行為，這種現(xiàn)象就叫混沌糾纏，其中非線(xiàn)性函數(shù)叫做糾纏函數(shù)[6]．考慮兩個(gè)線(xiàn)性子系統(tǒng)，一個(gè)是二維的，另兩個(gè)是一維的．分別如下所示：JC=-ax-ay，㈩：一=一bz，(2)=一w．(3)通過(guò)正弦函數(shù)糾纏(1)，(2)和(3)三個(gè)子系統(tǒng)，得到以下系統(tǒng)：收稿日期：2013—11-21基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)~(11161027)：教育部的項(xiàng)I~(212180)；甘肅省自然科學(xué)~(101RJZA0671作者簡(jiǎn)介：楊敏(1984一)，女，甘肅白銀人，碩士研究生，研

5、究方向：非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)及分岔與混沌控制14溫州大學(xué)學(xué)報(bào)·自然科學(xué)版(2014)第35卷第3期所以，當(dāng)2+b+d>0時(shí)系統(tǒng)(4)是耗散的，并且以指數(shù)形式收斂=e一卅．即體積元f在時(shí)刻t時(shí)收縮為體積元roe—r卅，且當(dāng)t∞時(shí)包含系統(tǒng)軌線(xiàn)的每個(gè)小體積元以指數(shù)率一(2a+b+)收縮到零，所有系統(tǒng)的軌線(xiàn)最終會(huì)被限制在一個(gè)體積為零的極限子集上，且漸近運(yùn)動(dòng)將被固定到一個(gè)吸引子上．1-3分岔圖、Lyapunov指數(shù)和Lyapunov指數(shù)譜當(dāng)a=1，b=1，d=1，c=8．2時(shí)，計(jì)算得=一0．0036，=1．184，：-O．004，／1,4=一18．59系統(tǒng)(4

6、)有一個(gè)大于零的LyapunoV指數(shù)，所以系統(tǒng)(4)此時(shí)處于混沌狀態(tài)．圖2表~Lyapunov指數(shù)隨時(shí)間變化的圖，圖3表示系統(tǒng)隨參數(shù)C變化的Lyapunov~數(shù)圖，圖4表示c關(guān)于的分岔圖．言詈圖2Lyapunov指數(shù)圖圖3Lyapunov指數(shù)譜圖4c關(guān)于的分岔由圖3可以看出，當(dāng)參數(shù)c∈(25，27．2)時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)<0，2=0，<0，<0，系統(tǒng)為周期運(yùn)動(dòng)．當(dāng)參數(shù)c∈(27．2，27．5)時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)l>0，九=0，<0，<0，系統(tǒng)處于混沌態(tài)．這與圖4的結(jié)論是一致的，即：參數(shù)c從初始值起系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)，然后

7、通過(guò)發(fā)生多步倍化分岔后進(jìn)入混沌狀態(tài)．1．4參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響隨著c的增大，系統(tǒng)(4)表現(xiàn)出周期和混沌，開(kāi)始收斂于一個(gè)固定的點(diǎn)．當(dāng)c=3時(shí)，一個(gè)321．521亭l0．500．1_0．54455(a)x-y-w空間(b)x—y-z空間圖5當(dāng)c=3時(shí)系統(tǒng)(4)的相圖楊敏等：一個(gè)混沌糾纏系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析15簡(jiǎn)單的吸引子如圖5所示．當(dāng)C=5時(shí)，一個(gè)簡(jiǎn)單的吸引子如圖6所示．當(dāng)c>8．2時(shí)，系統(tǒng)(4)有復(fù)雜的混沌吸引子．452亭0t'q0．2-4-5555(a)x一)，-w空間(b)x。y-z空l(shuí)司圖6當(dāng)c=5時(shí)系統(tǒng)(4)的相圖2分岔分析數(shù)值模擬顯示所有的平

8、衡點(diǎn)都是不穩(wěn)定的．要分析新系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，首先是要找出它的平衡點(diǎn)，由于(4)是一個(gè)超越方程組，通常不容易找到其精確的解，所以這里只考慮=(0，0，0)．定理：當(dāng)>