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《二次曲線有關(guān)弦的中點(diǎn)問題解法的探討.doc》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、二次曲線有關(guān)弦的中點(diǎn)問題解法的探討22Xy_例1橢圓36+T的弦被(4,2)點(diǎn)所平分，求此弦所在的直線方程。這樣的題一般解法是：解1：(待定系數(shù)法)設(shè)所求直線方程為：y—2=k(x—4)即￥=1^—4k+2將其代入橢圓方程，消元后整理得關(guān)于x的一元二次方程(4k2+l)X2-(32K2-16k)x-64k-20=0,V(4,2)在橢圓內(nèi)且是直線與橢圓相交弦的中點(diǎn)。工1+勺32尸-16上2=4,由韋達(dá)定理可知x+x2=4妒+1o16奇-8-]???4K2+1=4,解得k=—2.:.所求直線方程為3—2)=—(x-4).即x+2y-8=0.,4xj2+4yj2=36①②③④⑤解2：(代點(diǎn)法
2、)設(shè)過(4,2)點(diǎn)的線與己知橢圓相交于A(x.,yi),B(x2,y2)兩點(diǎn)，則有:4x22+4y22=36又1+又2』?^=4~2~^4①一②得(xi2—x/)+4(yi?—y22)=0.即(xi+x2)(xi—x2)+4(yi+y2)(y【一y2)=0QL1將③④代入可求得即k=7一工2=-2即1<=一公，以下同上。這兩種解法無可非議是正確的。但運(yùn)算較為煩瑣。筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中，總結(jié)出一種解這類問題的方法。供同行參考。k一龍尸卜一斤尸設(shè)橢圓方程為：a2+b2=l(a>b>0,km表示橢圓以A(x.y,),B(X2,y2)為端點(diǎn)的弦AB的斜率,令M(Xo,Y。)為AB的中點(diǎn)，M與
3、橢圓中心0,(h,k)連線的斜率為km則有(I)b2kom.kiB——白因?yàn)樯紸,B在橢圓上，可得：b2=(xi—h)1+a2(yI—k)2=a2b22,b2=(X2—h)2+a2(y2—k)2=a%2,兩式相減后再變形,即得:b2(xi+x2—2h)(xlX2)+a'(yi+y2—2k)(y>—y-2)=0.M是AB的中點(diǎn)，「?所以Xi+X2=2Xo,y〕+y2=2yo代入上式，可得b2(X0—h)(Xi—X2)+a2(y0—K)(yi—yz)=0.依題意,kAB,ko、存在，所以Xo」h,故有b2b2(氣-力房一勺)=_/即心朋=—/對于雙曲線：a2+b2=1(a>o,b>0)同
4、理可得0Kar=—a2(11)對于拋物線(x—h)2=±2p(y—k)或(y—k)2=±2p(x—h)也可有■PKab=±p或Kar=±y_*.下而舉例對公式(i)(ii)(no的應(yīng)用.1_9_上而一題可：0'(0,0),M(4,2),a2=36,b>=9,即Kab?T=一式，Rab=—2.?.?所求直線方程y-2=2(x-4)即x+2y—8=0。&一3)匕(y—2)z例2求橢圓一！-+=1中斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡。解：橢圓的中心0'(3,2),疽=9,b2=l,令弦的中點(diǎn)為M(x,y),貝Uy—2ko'M=x—3,瞄=2y—24_山公式⑴可得：?2=一瓦化簡得：2x+9y—24=
5、0,即為所求軌跡。例3求證經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)軌跡仍然是一個(gè)橢圓。證明：設(shè)橢圓方程為:b2x2+a2y2=a2b2-焦點(diǎn)為F(c,o),c=Va2+b2.又過焦點(diǎn)F的弦為ABc其中點(diǎn)為M(x,y),當(dāng)M不是原點(diǎn)或焦點(diǎn)F時(shí)，山公式(I)得:b1yy—X■x~-c=—a2.整理得：b2x2+a?yL，—b2cx=0.原點(diǎn)和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)顯然也滿足此方程，此方程配方后可化為:(x-f)2!y2(3)2亨=]可見，此方程表示的是以(c/2,。)為中點(diǎn)，焦點(diǎn)在x的軸上的橢圓。例4雙曲線x2-2y2+4y+3=0的一,條弦AB被點(diǎn)M(-5,2)平分，求AB所在的直線方程。(x—S)?(y—l
6、)Z解：程可化為刀一一F—=1,設(shè)所求宜線AB的斜率為k,O'(3,1).山公式(II)2—12可得:—5一3,k=4故直線AB的方程為：y-2=-4(x+5)即：4x+y+18=0為所求。例5線段AB的長度為定為L,它的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y=x2±移動，求動線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程。解：山題意可知AB不平行于y軸。設(shè)AB所在的直線為y=kx+b.令A(yù)(xi,yO,B(X2,y2)A、B中點(diǎn)M(x,y).由AB長為L,得:(xi—X2)'+(y】一y2)‘①消去A(x>,yi),B(X2,y?)的坐標(biāo)。ry=kx+b山ly=x2—kx—b=0=>Xi+x2=k,Xi?Xz=—b=>(xi
7、—X2)，=(Xi+x2)2=4xiX2=k'+4b.
