熱傳導(dǎo)方程和定解條件（0）.ppt

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1、1.1弦振動(dòng)方程與定解條件給定一根兩端固定且拉緊的均勻的柔軟的弦，其長(zhǎng)度為L(zhǎng)。在外力作用下在平衡位置附近作微小的橫振動(dòng)，求弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。1當(dāng)弦不受外力作用時(shí)，應(yīng)用牛頓第二定律，得消去并令2上式化為這個(gè)方程稱為弦的自由橫振動(dòng)方程。在上式推導(dǎo)過(guò)程中，出現(xiàn)的力是弦內(nèi)的張力，外力為零。3若還有外力作用到弦上，其方向垂直于軸，設(shè)其力密度(單位長(zhǎng)度上弦受力)為由于弦段很小，其上各點(diǎn)處的外力近似相等，因此作用在該段上的外力近似地等于4同樣應(yīng)用牛頓第二定律，得消去并令則得弦的強(qiáng)迫橫振動(dòng)方程受到與弦垂直方向的力的作用時(shí)，弦運(yùn)動(dòng)為受迫振動(dòng)。5弦振動(dòng)方程中只含有兩個(gè)自變量和

2、其中表示時(shí)間，表示位置。由于它們描述的是弦的振動(dòng)或波動(dòng)現(xiàn)象，因而又稱它為一維波動(dòng)方程。類似地可導(dǎo)出二維波動(dòng)方程（例如薄膜振動(dòng)）和三維波動(dòng)方程（例如電磁波、聲波的傳播），它們的形式分別為6二、定解條件對(duì)于一個(gè)確定的物理過(guò)程，僅建立表征該過(guò)程的物理量所滿足的方程還是不夠的，還要附加一定的條件，這些條件應(yīng)該恰恰足以說(shuō)明系統(tǒng)的初始狀態(tài)以及邊界上的物理情況。定解條件包括初始條件和邊界條件。初始條件：表征某過(guò)程“初始”時(shí)刻狀態(tài)的條件。對(duì)于弦振動(dòng)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，初始條件指的是弦在“初始”時(shí)刻的位移和速度。初始位移初始速度7邊界條件：表征某過(guò)程的物理量在系統(tǒng)的邊界上所滿足的物理?xiàng)l

3、件。對(duì)于弦振動(dòng)問(wèn)題而言，有三種基本類型：1、第一類邊界條件（狄利克雷Dirichlet）弦的一端的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，為例，若以表示其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，則邊界條件可以表達(dá)為特別的，若端被固定，則相應(yīng)的邊界條件為非齊次邊界條件齊次邊界條件以82、第二類邊界條件（諾伊曼Neumann）若弦的一端（例如）在垂直于軸的直線上自由滑動(dòng)，且不受到垂直方向的外力，這種邊界成為自由邊界.根據(jù)邊界微元右端的張力沿垂直方向的分量是，得出在自由邊界時(shí)成立若邊界張力沿垂直方向的分量是t的一個(gè)已知函數(shù)，則相應(yīng)的邊界條件為非齊次邊界條件齊次邊界條件93、第三類邊界條件（魯賓Robin）若弦的一端（例

4、如）固定在彈性支承上，并且彈性支承的伸縮符合胡克定律.為則u在端點(diǎn)的值表示支承在該點(diǎn)的伸長(zhǎng)。弦對(duì)支承拉力的垂直方向分量為若支承的位置由胡克定律得因此在彈性支承的情形，邊界條件歸結(jié)為10在數(shù)學(xué)中也可以考慮更普遍的邊界條件非齊次邊界條件齊次邊界條件其中是已知正數(shù).其中是t的已知函數(shù)。因此在彈性支承的情形，邊界條件歸結(jié)為11定解問(wèn)題定解問(wèn)題：由泛定方程和定解條件構(gòu)成的問(wèn)題根據(jù)定解條件的不同，定解問(wèn)題又細(xì)分為：混合問(wèn)題或初邊值問(wèn)題；初值問(wèn)題或柯西（Cauchy）問(wèn)題；邊值問(wèn)題兩端固定的弦的自由振動(dòng)問(wèn)題121.2熱傳導(dǎo)方程與定解條件熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：一、下面先從物理G內(nèi)的熱

5、傳導(dǎo)問(wèn)題出發(fā)來(lái)導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程。為此，我們用函數(shù)如果空間某物體G內(nèi)各處的溫度不同，則熱量就從溫度較高的點(diǎn)處向溫度較低的點(diǎn)流動(dòng)。表示物體G在位置處及時(shí)刻的溫度。13熱的傳播按傅立葉（Fourier）實(shí)驗(yàn)定律進(jìn)行：物體在無(wú)窮小時(shí)段內(nèi)流過(guò)一個(gè)無(wú)窮小面積的熱量與物體溫度沿曲面法線方向的方向?qū)?shù)成正比，而熱流方向與溫度升高的其中稱為物體在點(diǎn)處的熱傳導(dǎo)系數(shù)，為正值.當(dāng)物體為均勻且各向同性時(shí)，為常數(shù)，為曲面沿?zé)崃鞣较虻姆ň€.方向相反，即14為了導(dǎo)出溫度所滿足的方程,在物體G內(nèi)任取一閉曲面它所包圍的區(qū)域記作則從時(shí)刻到時(shí)刻經(jīng)過(guò)曲面流入?yún)^(qū)域的熱量為其中表示對(duì)曲面的外法向?qū)?shù).15

6、流入的熱量使區(qū)域內(nèi)部的溫度發(fā)生變化,在時(shí)間間隔中物理溫度從變化到所需要的熱量為其中為物體的比熱,為物體的密度.如果所考察的物體內(nèi)部沒(méi)有熱源,由于熱量守恒,16先對(duì)進(jìn)行變形利用奧-高(Gauss)公式設(shè)函數(shù)關(guān)于變量具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),關(guān)于變量具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),可化為17而可化為因此由移項(xiàng)即得（利用牛頓-萊布尼茲公式）18由于與區(qū)域都是任意取的,并且被積函數(shù)是連續(xù)的,于是得上式稱為非均勻的各向同性體的熱傳導(dǎo)方程.如果物體是均勻的,此時(shí)為常數(shù),記則得齊次熱傳導(dǎo)方程19如果所考察的物體內(nèi)部有熱源(例如物體中通有電流,或有化學(xué)反應(yīng)等情況),設(shè)熱源密度(單位時(shí)間內(nèi)單位

7、體積所產(chǎn)生的熱量)為則在時(shí)間間隔中區(qū)域內(nèi)所產(chǎn)生的熱量為同樣由于熱量要平衡,20其中非齊次熱傳導(dǎo)方程相對(duì)應(yīng)的一維、二維熱傳導(dǎo)方程可類似寫出。21二、定解條件初始條件：表示初始時(shí)刻物體內(nèi)溫度的分布情況其中為已知函數(shù)。1、第一類邊界條件（狄利克雷Dirichlet）設(shè)所考察的物體G的邊界曲面為S，已知物體表面溫度函數(shù)為即222、第二類邊界條件（諾伊曼Neumann）特別地，如果物體表面上各點(diǎn)的熱流量為0,絕熱性邊界條件已知物體表面上各點(diǎn)的熱流量也就是說(shuō)在單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)單位面積的熱量是已知的，其中由傅里葉實(shí)驗(yàn)定律可知是定義在邊界曲面S，且上的已知函數(shù).則相應(yīng)的邊界條

8、件為233、第三類邊界條件（魯賓Robin）考察將物