典型方程和定解條件的推導(dǎo)

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1、第一章典型方程和定解條件的推導(dǎo)1.0預(yù)備知識－基本概念課程內(nèi)容：研究數(shù)學(xué)物理方程的建立、求解方法和解的物理意義的分析。1.0預(yù)備知識－基本概念微分方程:含有自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程常微分方程：未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程.偏微分方程:未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程*1.0預(yù)備知識－基本概念例如都是偏微分方程,偏微分方程:未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程1.0預(yù)備知識－基本概念偏微分方程的階:方程中未知函數(shù)的偏導(dǎo)的最高階數(shù)是二階偏微分方程是三階偏微分方程.例:1.0預(yù)備知識－基本概念線性偏微分方程:對于未知函數(shù)及其所有偏導(dǎo)數(shù)

2、來說都是線性的，且方程中的系數(shù)都僅依賴于自變量（或者為常數(shù)）非線性偏微分方程:不是線性的偏微分方程例是二階線性偏微分方程是非線性偏微分方程1.0預(yù)備知識－基本概念n個自變量的二階線性偏微分方程,一般形式為這里和都是關(guān)于自變量的函數(shù)。如果，則稱方程為齊次的；否則稱為非齊次的。本課程的主要研究對象：1.0預(yù)備知識－基本概念根據(jù)系統(tǒng)邊界所處的物理條件和初始狀態(tài)列出定解條件；主要內(nèi)容從不同的物理模型出發(fā)，建立三類典型方程；提出相應(yīng)的定解問題1.0預(yù)備知識－基本概念1.1基本方程的建立導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程的一般方法：確定所研究的物理量；建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼担?/p>

3、劃出研究單元，根據(jù)物理定律和實驗資料寫出該單元與鄰近單元的相互作用，分析這種相互作用在一個短時間內(nèi)對所研究物理量的影響，表達為數(shù)學(xué)式；簡化整理，得到方程。1.1基本方程的建立例1.弦的微小橫振動設(shè)有一條拉緊的弦，長為l，平衡位置與x軸的正半軸重合，且一端與原點重合,確定當(dāng)弦受垂直外力作用后的運動狀態(tài)。假設(shè)與結(jié)論：（1）橫振動坐標系oxu，位移u(x,t)x1x2T(x1)T(x2)ux（2）微小振動1.1基本方程的建立（3）弦柔軟、均勻.張力沿切線方向,密度為常數(shù)；建立方程：取微元，研究在水平方向和鉛垂方向在不受外力的情況下的運動情況。ux

4、T(x)Mxx+dx1.1基本方程的建立牛頓運動定律：F=m·a作用在弧段上的水平方向的力為傾角很小，即近似得垂直方向的力為（1）于是等式（1）變成由微積分知識可知，在時刻t有（2）等式（2）可以寫成uxT(x)MM’xx+dx由于令，取極限得略去重力，可得方程其中(3)弦振動方程（3）中只含有兩個自變量和，其中表示時間，表示位置。由于它們描述的是弦的振動或波動現(xiàn)象，因而又稱為一維波動方程。1.1基本方程的建立注1：如果弦上還受到一個與振動方向相同的外力，且外力密度為F(x,t)，外力可以是壓力、重力、阻力，則弦的強迫振動方程為1.1基本方

5、程的建立例2.傳輸線方程研究高頻傳輸線內(nèi)電流流動規(guī)律。待研究物理量:電流強度i(x,t),電壓v(x,t)R—每一回路單位的串聯(lián)電阻,L—每一回路單位的串聯(lián)電感，C—每單位長度的分路電容，G—每單位長度的分路電導(dǎo)，1.1基本方程的建立Kirchhoff第一,二定律微分形式兩端對x微分兩端對t微分*C相減—傳輸線方程高頻傳輸，G=0,R=0—高頻傳輸線方程與一維波動方程類似1.1基本方程的建立例3.聲學(xué)方程Lapalce算子三維波動方程1.1基本方程的建立注2：類似的可導(dǎo)出二維波動方程（例如薄膜振動）,它的形式為1.1基本方程的建立奧氏公式例

6、4靜電場的勢方程在區(qū)域內(nèi),靜電場強度為,介電常數(shù),電荷密度為,求靜電場的勢滿足的方程即故1.1基本方程的建立故即—Laplace方程—Poisson方程當(dāng)　內(nèi)沒有電荷時靜電場是有勢場，故存在勢函數(shù)u,有1.1基本方程的建立如果空間某物體內(nèi)各點處的溫度不同，則熱量就從溫度較高點處到溫度較低點處流動，這種現(xiàn)象叫熱傳導(dǎo)。考慮物體G內(nèi)的熱傳導(dǎo)問題。函數(shù)u(x,y,z,t)表示物體G在位置M(x,y,z)以及時刻t的溫度。通過對任意一個小的體積元V內(nèi)的熱平衡問題的研究，建立方程。假設(shè)：假定物體內(nèi)部沒有熱源，物體的熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)，即是各向同性的，物體

7、的密度以及比熱是常數(shù)。熱場例5.熱傳導(dǎo)方程1.1基本方程的建立熱場傅立葉實驗定律:物體在無窮小時段dt內(nèi)沿法線方向n流過一個無窮小面積dS的熱量dQ與時間dt,面積dS,物體溫度沿曲面dS法線方向的方向?qū)?shù)成正比.從時刻到時刻經(jīng)過曲面S流入?yún)^(qū)域V的熱量為高斯公式1.1基本方程的建立流入熱量使物體內(nèi)溫度變化，在時間間隔中物體溫度從變化到所需吸收熱量為比熱密度由于所考察的物體內(nèi)部沒有熱源,根據(jù)能量守恒定律可得第一章典型方程和定解條件的推導(dǎo)由于時間,和區(qū)域V都是任意選取的,并且被積函數(shù)連續(xù),于是得(非均勻的各向同性體的熱傳導(dǎo)方程)對于均勻的各向同

8、性物體，k為常數(shù)，記則得齊次熱傳導(dǎo)方程:三維熱傳導(dǎo)方程*1.1基本方程的建立若物體內(nèi)部有熱源F(x,y,z,t),則熱傳導(dǎo)方程為其中1.1基本方程的建立二維熱傳導(dǎo)方程―維熱傳導(dǎo)方