例談運用構(gòu)造法證明不等式 - 新課程數(shù)學 - 新課程數(shù)學新課程.doc

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1、例談運用構(gòu)造法證明不等式在我們的學習過程中，常遇到一些不等式的證明，看似簡單，但卻無從下手，很難找到切入點，幾種常用證法一一嘗試，均難以湊效。這時我們不妨變換一下思維角度，從不等式的結(jié)構(gòu)和特點出發(fā)，在已學過的知識的基礎上進行廣泛的聯(lián)想，構(gòu)造一個與不等式相關(guān)的數(shù)學模型，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明。下面通過舉例加以說明。一、構(gòu)造向量證明不等式例1：證明，并指出等號成立的條件。簡析與證明：不等式左邊可看成與x和與兩兩乘積的和，從而聯(lián)想到數(shù)量積的坐標表示，將左邊看成向量a=(,)與b=(x,)的數(shù)量積，又a·b≤

2、a

3、

4、·

5、b

6、，所以當且僅當b=λa(λ>0)時等號成立，故由得：x=,λ=1，即x=時，等號成立。例2：求證：簡析與證明：不等式左邊的特點，使我們?nèi)菀茁?lián)想到空間向量模的坐標表示，將左邊看成a=(1－y,x+y－3,2x+y－6)模的平方，又

7、a

8、·

9、b

10、≥a·b,為使a·b為常數(shù)，根據(jù)待定系數(shù)法又可構(gòu)造b=(1,2，-1)于是

11、a

12、·

13、b

14、=a·b＝所以即二、構(gòu)造復數(shù)證明不等式例3、求證：簡析與證明：從不等式左邊的結(jié)構(gòu)特點容易聯(lián)想到復數(shù)的模，將左邊看成復數(shù)Z1=x+yi,Z2=x+（1－y）i，Z3=1－x+yi，Z4=

15、1－x+（1－y）i模的和，又注意到Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2i，于是由＋＋＋≥可得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　此題也可構(gòu)造向量來證明。三、構(gòu)造幾何圖形證明不等式例4：已知：a>0、b>0、c>0,求證：當且僅當時取等號。簡析與證明：從三個根式的結(jié)構(gòu)特點容易聯(lián)想到余弦定理，于是可構(gòu)造如下圖形：作OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60°如圖（1）則∠AOC＝120°，AB=，BC=,AC=由幾何知識可知：AB＋BC≥AC∴+≥圖（1）當且僅當A、B、C三點共線時

16、等號成立，此時有，即ab+bc=ac故當且僅當時取等號。四、構(gòu)造橢圓證明不等式例5：求證：簡析與證明：的結(jié)構(gòu)特點，使我們聯(lián)想到橢圓方程及數(shù)形結(jié)合思想。圖（2）于是令，則其圖象是橢圓的上半部分，設y-2x=m，于是只需證,因m為直線y=2x＋m在y軸上的截距，由圖（2）可知：當直線y=2x＋m過點（，0）時，m有最小值為m=；當直線y=2x＋m與橢圓上半部分相切時，m有最大值。由得：13x2+4mx+m2–4=0令△=4（52－9m2）=0得：或（舍）即m的最大值為，故，即五、構(gòu)造方程證明不等式例6：設a1、a2、…an

17、為任意正數(shù)，證明對任意正整數(shù)n不等式(a1+a2+…+an)2≤n(a12+a22+…+an2)均成立簡析與證明：原不等式即為4(a1+a2+…+an)2－4n(a12+a22+…+an2)≤0由此聯(lián)想到根的判別式而構(gòu)造一元二次方程：(a12+a22+…+an2)x2+2(a1+a2+…+an)x+n=0　?。ǎ┮蚍匠套筮叄?a1x+1)2+(a2x+1)2+…＋(anx+1)2≥0當a1、a2、…an不全相等時，a1x+1、a2x+1、…anx+1至少有一個不為0，方程（＊）左邊恒為正數(shù)，方程（＊）顯然無解。當a1

18、＝a2＝…＝an時，方程（＊）有唯一解x＝故△＝4(a1+a2+…+an)2－4n(a12+a22+…+an2)≤0即(a1+a2+…+an)2≤n(a12+a22+…+an2)對任意正整數(shù)n均成立六、構(gòu)造數(shù)列證明不等式例7：求證：Cn1+Cn2+…+Cnn>簡析與證明：不等式左邊即為2n－1=從而聯(lián)想到等比數(shù)列的求和公式，于是左邊=1+2+22+…+2n－1=[(1+2n-1)+(2+2n-2)+…(2n-1+1)≥·n·=例8：設任意實數(shù)a、b均滿足

19、a

20、<1，

21、b

22、<1求證：簡析與證明：不等式中各分式的結(jié)構(gòu)特點與

23、題設聯(lián)想到無窮等比數(shù)列（

24、q

25、<1）各項和公式S＝，則：=（1+a2+a4+…）+（1+b2+b4+…）=2+（a2+b2）+(a4+b4)+…≥2+2ab+2a2b2+2a4b4+…=七、構(gòu)造函數(shù)證明不等式例9：已知

26、a

27、<1，

28、b

29、<1，

30、c

31、<1，求證：ab＋bc＋ca＞－1簡析與證明：原不等式即為：（b＋c）a＋bc＋1>0　……①將a看作自變量，于是問題轉(zhuǎn)化為只須證：當－1＜a＜1時，（b＋c）a＋bc＋1恒為正數(shù)。因而可構(gòu)造函數(shù)f(a)=(b+c)a+bc+1(－1＜a＜1)若b+c=0原不等式顯然成立。若

32、b+c≠0，則f(a)是a的一次函數(shù)，f(a)在（－1,1）上為單調(diào)函數(shù)而f(-1)=－b－c+bc+1＝（1－b）（1－c）＞0f(1)＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0∴f(a)＞0　即ab＋bc＋ca＞－1此題還可由題設構(gòu)造不等式（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0　　　　　　　　　　　?。?－a）（1－b）（1－c