例談構(gòu)造法證明不等式

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1、例談構(gòu)造法證明不等式谷學(xué)標(biāo)不等式證明無論是在高考中，還是在各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，都是比較常見的題型。不等式證明方法多種多樣、豐富多彩。然而有些不等式用常規(guī)的方法（如比較法、分析法和綜合法等）很難證明或根本證不出來，但若能根據(jù)它的題設(shè)條件及知識(shí)點(diǎn)間的相互聯(lián)系，構(gòu)造一個(gè)與所證結(jié)果有關(guān)的輔助函數(shù)、方程、數(shù)列、幾何圖形等，使問題得到轉(zhuǎn)化，然后再推理運(yùn)算，便可獲得簡(jiǎn)捷、直觀、巧妙的證明。本文通過例題談?wù)剺?gòu)造法在證明不等式中的應(yīng)用。一、構(gòu)造方程證明不等式由于函數(shù)、方程、不等式之間存在著密不可分的關(guān)系，函數(shù)式可看成方程，而一元二次方程的判別式又可變?yōu)椴坏仁?，因而某些不等式問題可轉(zhuǎn)化為方程問題，運(yùn)

2、用方程的理論去求解。例1a、b、c為任意實(shí)數(shù)，求證(b-c)2≥(a-2b)(2c-a)分析：本題用常規(guī)證法較難。但易看出，若a-2b=0或2c-a=0，不等式成立.當(dāng)a-2b≠0時(shí)，原不等式等價(jià)于[2(b-c)]2≥4(a-2b)(2c-a)，因而，考察方程(a-2b)x2+2(b-c)+2c-a=0，易知，x=1是方程的根.所以△≥0成立，故原不等式成立。二、構(gòu)造函數(shù)證明不等式有的不等式證明，轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題，利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)來證明，就會(huì)變得特別簡(jiǎn)捷明快。例2已知a>b>0，證明>>分析：由不等式的結(jié)構(gòu)特征可構(gòu)造函數(shù)f(x)=，由f(x)=-1=,可知f(x)

3、在(0,+∞)上f(x)為增函數(shù).∴f(1).分析：此不等式變形后與偶函數(shù)相關(guān)，由此聯(lián)想到構(gòu)造f(x)=-=，易得f(-x)=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù).當(dāng)x>0時(shí)，2x>1即5f(x)=>0，又當(dāng)x<0時(shí)，有-x>0，∴f(-x)=f(x)>0.綜上所述,對(duì)總有f(x)>0，即>。注：函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在整個(gè)定義域上的一個(gè)性質(zhì)，由于奇（偶）函數(shù)定義域的對(duì)稱性，故若知道函數(shù)在某一區(qū)間上的情形，便可知道

4、它在這個(gè)區(qū)間的對(duì)稱區(qū)間上的情形，這為構(gòu)造一個(gè)函數(shù)、運(yùn)用轉(zhuǎn)化法證明不等式提供了方便和可能。三、構(gòu)造數(shù)列證明不等式對(duì)于與自然數(shù)有關(guān)的不等式，有時(shí)可考慮把它轉(zhuǎn)化為數(shù)列，然后，利用數(shù)列的遞增或遞減性來證明不等式成立。例4求證：++…+>，其中n∈N，且n≥2分析：構(gòu)造an=++…+-（n∈N，且n≥2）則有an+1-an=（++…+++-）-（++…+-）=+-=->0所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，又a2=+->0，故an>0（n∈N，且n≥2），即原不等式成立。注：欲證含有與自然數(shù)n有關(guān)的和的不等式f(n)>g(n)，只需證明數(shù)列{an}（其中an=f(n)-g(n)）單調(diào)遞增，且a

5、1>0。例5求證：不等式2n-1≤n!對(duì)任何正整數(shù)都成立.分析：原不等式等價(jià)于≤1，構(gòu)造一個(gè)通項(xiàng)為an=的數(shù)列，由==≤1知{an}為遞減數(shù)列，而a1=1，所以對(duì)一切n∈Nx，≤1成立，即原不等式成立。注：欲證含有與自然數(shù)n有關(guān)的積的不等式f(n)0，只需證明數(shù)列{an}（其中an=)單調(diào)遞減，且a1<1。四、構(gòu)造平均值，利用平均值換元法證明不等式稱為n個(gè)數(shù)a1、a2…an的算術(shù)平均值.5有的不等式證明利用平均值代換可使問題變得簡(jiǎn)便。例6若a1+a2+…+an=1，求證a12+a22+…+an2≥（n∈N）分析：由題設(shè)條件可構(gòu)造平均值=，并設(shè)a1=+β1

6、，a2=+β2…an=+βn，則a1+a2+…+an=1+(β1+β2+…+βn)，∵a1+a2+…+an=1，∴β1+β2+…+βn=0，∴a12+a22+…+an2=（+β1）2+（+β2）2+…+（+βn）2=++(β12+β22+…+βn2)=+(β12+β22+…+βn2)≥注：對(duì)于n個(gè)變量的和為定值的問題，常以它們的平均值加上一個(gè)增量βi的形式來?yè)Q元，注意其中，這樣換元具有有效的轉(zhuǎn)化作用。五、構(gòu)造復(fù)數(shù)證明不等式復(fù)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位，它具有代數(shù)、幾何、三角、指數(shù)等多種形式，有的不等式利用復(fù)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)來證明可使問題非常簡(jiǎn)單易行。例7已知a、b在(0,1)內(nèi)，

7、求證：分析：這一不等式較復(fù)雜，但證法很多。由左邊的根號(hào)可聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模，于是構(gòu)造z1=a+bi,z2=a+(1-b)i,z3=(1-a)+bi,z4=(1-a)+(1-b)i，由模的性質(zhì)得，左邊=│z1│+│z2│+│z3│+│z4│≥│z1+z2+z3+z4│=│2+2i│=。六、構(gòu)造二項(xiàng)展開式，證明不等式利用二項(xiàng)展開式的特征規(guī)律，通過對(duì)某些項(xiàng)的取舍可達(dá)到證明不等式的目的。例8設(shè)a>1，n∈N，且n≥2，求證：分析：可設(shè)，則，欲證原不等式，即證nx<(x+1)n-1，其中x>0，∵，即(x+1)n>n