例談運(yùn)用構(gòu)造法證明不等式

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1、例談運(yùn)用構(gòu)造法證明不等式在我們的學(xué)習(xí)過程中，常遇到一些不等式的證明，看似簡單,但卻無從下手，很難找到切入點(diǎn)，幾種常用證法一一嘗試，均難以湊效。這時(shí)我們不妨變換一下思維角度，從不等式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，在已學(xué)過的知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行廣泛的聯(lián)想，構(gòu)造一個(gè)與不等式相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明。下而通過舉例加以說明。一、構(gòu)造向蜃證明不等式例1:證明9)9(272xx,并指出等號(hào)成立的條件。簡析?證明：不等式左邊可看成7與x和2與29x兩兩乘積的和，從而聯(lián)想到數(shù)量積的坐標(biāo)表示，將左邊看成向量a=(7,2)與b=(x,29x)的數(shù)量積，又a?bWlal

2、?Ibl,所以9)9(?)2()7()9(2722222xxxx當(dāng)且僅當(dāng)b=Xa(入>0)時(shí)等號(hào)成立,故由02972xx得：x=7,A,=1,即x=7時(shí)，等號(hào)成立。例2:求證：61)62()3()1222yxyxy—(簡析與證明：不等式左邊的特點(diǎn)，使我們?nèi)菀茁?lián)想到空間向量模的坐標(biāo)表示，將左邊看成a=(l-y,x+y-3,2x+y—6)模的平方,又lal?lbl±a?b,為使a?b為常數(shù)，根據(jù)待定系數(shù)法又可構(gòu)造b=(l,2,-1)于是lal?lb1=6?)62()3()1(222yxyxya?b=11?)62(2?)3(1?)1)—(—(yxyxy所以16?)

3、62()301(222即61)62()3()1222求證：22)1()1()1()1(22222222yxyxyyxyxy—(一、構(gòu)造復(fù)數(shù)證明不等式例3、yxyxyxyx簡析與證明：從不等式左邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)容易聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模，將左邊看成復(fù)數(shù)Z1二x+yi,Z2二x+(1-y)i,Z3=1-x+yi,Z4=1-x+(1-y)i模的和，又注意到Zl+Z2+Z3+Z4=2+2i,于是由Iz+2z+3z+4z24321zzzzyxyxyxyx可得2222)1()1()1()1(22222222222圖(1)此題也可構(gòu)造向量來證明。三、構(gòu)造幾何圖形證明不等式例4：已知：

4、a>0、b>0>c>0,求證：222222cacacbcbbaba當(dāng)且僅當(dāng)cabl11時(shí)取等號(hào)。簡析與證明：從三個(gè)根式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)容易聯(lián)想到余弦定理,于是可構(gòu)造如下圖形：作OA=a,OB=b,OC=c,ZAOB=ZBOC=60°如圖(1)則ZAOC=120°,AB=22baba,BC=22cbcb,AC=22caca由兒何知識(shí)可知：AB+BCMAC22baba+22cbcb^22caca當(dāng)且僅當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)有120sin2160sin2160sin21acbcab，即ab+bc=ac故當(dāng)且僅當(dāng)cabl11時(shí)収等號(hào)。四、構(gòu)造橢圓證明不等式例

5、5：求證：3132294342xx簡析與證明：294x的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，使我們聯(lián)想到橢圓方程及數(shù)形結(jié)合思想。于是令)0(942yxy,則其圖象是橢IeI149422yx的上半部分，設(shè)y-2x=m,于是只需證313234m,因m為直線y=2x+m在y軸上的截距,由圖(2)可知:當(dāng)直線y=2x+m過點(diǎn)(32,0)時(shí),m有最小值為m=34；當(dāng)直線y=2x+m與橢圓上半部分相切時(shí)，m有最大值。由49222yxmxy得：13x2+4mx+m2-4=0圖(2)3令Z=4(52—9m2)=0得：3132m或3132-m(即m的最大值為3132,故3132m34,即313229

6、4342xx五、構(gòu)造方程證明不等式例6：設(shè)al、a2.-an為任意正數(shù)，證明對(duì)任意正整數(shù)n不等式(al+a2+…+an)2Wn(al2+a22+…+an2)均成立簡析與證明：原不等式即為4(al+a2+…+an)2—4n(al2+a22+…+an2)W0由此聯(lián)想到根的判別式而構(gòu)造一元二次方程：(al2+a22+…+an2)x2+2(al+a2+…+an)x+n=0(*)因方程左邊=(alx+1)2+(a2x+1)2+…+(anx+1)22()當(dāng)al、a2>---an不全相等時(shí)，alx+1>a2x+l、---anx+l至少有一個(gè)不為()，方程(*)左邊恒為正數(shù)

7、，方程(*)顯然無解。當(dāng)al=a2=--=an時(shí)，方程(*)冇唯一解x=11a故△=△(al+a2+…+an)2—4n(al2+a22+…+an2)W0即(al+a2+…+an)2Wn(al2+a22+…+an2)對(duì)任意正整數(shù)n均成立六、構(gòu)造數(shù)列證明不等式例7：求證：Cnl+Cn2+???+Cnn>21-n2?n簡析與證明：不等式左邊即為2n-1=2121n從而聯(lián)想到等比數(shù)列的求和公式，于是左邊=1+2+22+-+2n~l=2ll(l+2n-l)+(2+2n-2)+???(2n-l+l)$21?n?122n=21-n2?n例8：設(shè)任意實(shí)數(shù)a、b均滿足lal<

8、l,lbl