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1、第5章求矩陣的特征值 與特征向量5.1冪法5.2逆冪法5.3求實(shí)對稱陣特征值的對分法概述矩陣的特征值與特征向量特征值：特征向量特征多項(xiàng)式：5.1冪法5.1.1冪法的基本思想1.根據(jù)（特征值r、特征向量x、方陣A）滿足關(guān)系式：Ax=rx，故任取非零初始向量x(0)，作迭代序列：2.再根據(jù)k增大時(shí)x(k)各分量的變化規(guī)律，求出矩陣A的按模最大特征值與特征向量。5.1冪法[例1]對A作迭代計(jì)算(P80頁)考察迭代序列x(k)的相鄰向量的相應(yīng)分量比值，可見：隨k的增大而趨向于一個(gè)固定值。(該值)==(矩陣A的按模最大特征值)5.1.2冪法的計(jì)算公式冪法的要求：矩陣A有完備的特征向量
2、系，即A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。冪法的功能：計(jì)算按模最大特征值和特征向量特征值：特征向量：5.1.2冪法的計(jì)算公式冪法計(jì)算公式的推導(dǎo)：取初始非零向量x(0)，且：迭代公式：則有：5.1.2冪法的計(jì)算公式分三種情況討論：(1)為實(shí)根，且(2)為實(shí)根，且及5.1.2冪法的計(jì)算公式(3)復(fù)根①用最小二乘法求解方程組：②再解一元二次方程：5.1.2小結(jié)冪法的一般計(jì)算步驟：給出初值x(0)，按迭代公式計(jì)算：x(k+1)=Ax(k)根據(jù)迭代序列各分量的變化情況求根：若各分量單調(diào)變化（相鄰兩個(gè)向量的各分量之比趨向于常數(shù)c），則按情況一處理。若奇序列、偶序列的各個(gè)分量比趨于常數(shù)，則按情況
3、二處理。若序列的各分量表現(xiàn)為其它情況，則結(jié)束。5.1.3冪法的實(shí)際計(jì)算公式迭代條件：計(jì)算結(jié)果：5.1.4冪法的計(jì)算步驟、實(shí)例冪法的收斂速度取決于比值:稱其為收斂因子，比值越小，收斂越快。計(jì)算實(shí)例：P85頁例25.2逆冪法作用：求矩陣A(A-1)的按模最小(大)特征值和特征向量基本思想：1.設(shè)A為非奇異方陣，特征值和特征向量為：2.則A-1的特征值和特征向量為：3.可見，A-1的按模最大特征值的倒數(shù)即為矩陣A的按模最小特征值。5.2.1逆冪法的計(jì)算公式方法：作迭代或反迭代實(shí)際計(jì)算公式：(1)先對A作LU分解；（LU分解的要點(diǎn):??）(2)再解方程組：5.2.1逆冪法的計(jì)算公式
4、5.2.1逆冪法的計(jì)算公式計(jì)算結(jié)果：迭代條件:5.2.2-3逆冪法的計(jì)算步驟/實(shí)例P87頁例1求：在值附近的A的特征值和特征向量？5.2.4用逆冪法求附近的特征值問題：已知方陣A、給定值分析：不妨設(shè)附近的特征值為，則必有從而，原問題變成求“按模最小特征值”。解法：(1)構(gòu)造矩陣(2)用逆冪法求B的按模最小特征值5.2.5用逆冪法求附近的特征值的計(jì)算實(shí)例P88頁例2本例的啟示：本例所用的思想可以稱為“原點(diǎn)平移法”。矩陣A與矩陣(A-r0I)的特征值有以下關(guān)系：若ri是矩陣A的特征值，則(ri-r0)就是(A-r0I)的特征值，而且相應(yīng)的特征向量不變。適當(dāng)選取r0，使
5、r1-r
6、0
7、>
8、ri-r0
9、，這樣用冪法計(jì)算矩陣(A-r0I)的特征值收斂速度更快。5.3求實(shí)對稱陣特征值的對分法5.3.1求實(shí)對稱三對角陣特征值的對分法1.實(shí)對稱三對角陣的Sturm序列設(shè)實(shí)對稱三對角陣C，Sturm序列就是的i階主子式序列，即C的特征多項(xiàng)式序列。5.3求實(shí)對稱陣特征值的對分法Sturm序列的一些性質(zhì)：(1)僅有實(shí)根(2)相鄰項(xiàng)無公共零點(diǎn)(3)pi(x)=0，則pi-1(x)pi+1(x)<0(4)pi(x)全是單根，且具有隔離作用(5)左鄰域同號，右鄰域同號5.3求實(shí)對稱陣特征值的對分法2.Sturm序列在某點(diǎn)的連號數(shù)(1)計(jì)
10、算在點(diǎn)處Sturm序列的全部值；(2)相鄰兩項(xiàng)若同號，則有1個(gè)連號數(shù)；否則，無連號數(shù)。注：pi(x)=0=+0（即0的符號為正）(3)按順序數(shù)完連號數(shù)，則得到Sturm序列的總連號數(shù)，記為:5.3求實(shí)對稱陣特征值的對分法3.Gerschgorin定理(圓盤定理)(1)Gerschgorin盤(圓盤)對n階方陣A，稱Di為方陣A的第i個(gè)圓盤，其中:(2)Gerschgorin定理(圓盤定理)對n階方陣A，A的全部特征值均在區(qū)域D內(nèi),其中:5.3求實(shí)對稱陣特征值的對分法(3)推論1：方陣A的最小和最大特征值滿足(4)推論2：對實(shí)對稱三對角陣C，其特征值必屬于區(qū)間[m,M]，其中
11、：5.3求實(shí)對稱陣特征值的對分法4.求實(shí)對稱三對角陣C特征值的對分法(1)求三對角陣C在區(qū)間[a,b]上特征值的個(gè)數(shù)[定理2]方陣C在區(qū)間[a,+∞]內(nèi)特征值的個(gè)數(shù)等于其Sturm序列在點(diǎn)a處的總連號數(shù)。*方陣C在區(qū)間[a,b]內(nèi)特征值的個(gè)數(shù) =(點(diǎn)a處的總連號數(shù))–(點(diǎn)b處的總連號數(shù))P91頁例15.3求實(shí)對稱陣特征值的對分法(2)求三對角陣C的全部特征值（對分法）①求三對角陣C的Sturm序列;②根據(jù)Gerschgorin定理確定矩陣C全部特征值的上界M和下界m;③對區(qū)間[m,M]對分，取中點(diǎn)a=(m+M)/2
