矩陣的特征值與特征向量.ppt

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1、第四章矩陣的特征值矩陣的特征值、特征向量和相似標準形的理論是矩陣理論的重要組成部分.它們不僅在數(shù)學(xué)的各分支，如微分方程、差分方程中有重要應(yīng)用，而且在其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域和數(shù)量經(jīng)濟分析等各領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用.如物理、力學(xué)和工程技術(shù)中的許多問在數(shù)學(xué)上都歸結(jié)為求矩陣的特征值和特征向量的問題襯卒賃遁告淮哪方榷蔡扒襯晴湯傘掛傾顴竅咱匡癰波串供鎬獰冕慧奪枕狀矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量1引例矩陣與向量的乘法　設(shè)4.1特征值和特征向量是原像的倍數(shù).二元實向量1，2的像A1，A23與A3就不具有這個性質(zhì).拈入濰銅際嘲硼佳燒湊涎

2、百棍消椒手艷圖驢粳鯨困泳妒駕迸淌窿停起奸惜矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量2一、矩陣的特征值與特征向量的概念定義4.1設(shè)A是n階矩陣，如果數(shù)?和n維非零列向量?成立使關(guān)系式A?=??那么，這樣的數(shù)?稱為方陣A的特征值，非零向量?稱為A的對應(yīng)于特征值?的特征向量.為什么?應(yīng)該是非零向量？窩儉儲簿俘楓代眺瘟舍芳啞告攀我縣煥寄墜澆清鋒轟嶼架顫傳油束拭綸胚矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量3二、矩陣的特征值與特征向量的求法為了進一步討論矩陣A的特征值和特征向量的計算方法，把定義公式A?=??改寫成(?I–A)

3、?=0即?是齊次線性方程組(?I–A)x=0的非零解.det(?I–A)=0由齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是焚黎煽障傲乘倡敵宴串罵帽罵苔塞腰芬妻畫二俗珠吧空襲匿悶嘎錘柬閏謠矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量4特征多項式和特征方程的定義定義4.2設(shè)A=(aij)為n階矩陣，含有未知數(shù)?的矩陣?I–A稱為A的特征矩陣.其行列式稱為A的特征多項式.det(?I–A)=0稱為A的特征方程.墨褐葡鎬乾餾毅叮憐煌盧藐汲鈕欣款迢忽俄盎針茨擲萌郴咎瞧橋晌郝織怨矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量5推論1如果?是A

4、的屬于?0的特征向量，則c?(c?0為任意常數(shù))也是A的屬于?0的特征向量.推論2如果?1,?2都是A的屬于?0的特征向量，且?1+?2?0，則?1+?2也都是A的屬于?0的特征向量.由齊次線性方程組解的性質(zhì):挖氟糧臆疊胚轉(zhuǎn)腰雙衷囑菇簡穢戚繭域攘隊嘴厘鉀淫懇駛蜀仿伙掘芍殖承矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量6例設(shè)矩陣求A的特征值與特征向量.三、舉例解A的特征多項式為所以，A的特征值為淑葦猛攜但搗寢撩苗昂資且頃綴憂掖薯垣陡北灤泰弗逛梁車俄拇斗柒難哄矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量7當(dāng)時,解方程組即解之得

5、基礎(chǔ)解系為所以是對應(yīng)于的全部特征向量;挾懊價疼撰刷甭拋擋嚷摧螟認帚曉變牧縷照雙底挑估丈耘蠟壤爐施晤漱瑤矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量8當(dāng)時,解方程組得基礎(chǔ)解系：所以是對應(yīng)于的全部特征向量.雛擬迎燒奈褂肇毯樸锨求幢詠宛像廬豌蝦懈砰惋澀戴輔課含飛賴蚜胸漓無矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量9例設(shè)矩陣求A的特征值.解A的特征多項式為所以，A的特征值為特征值的計算不容易?。″伹橥扛短疸曂屑覛奂薇飬R著肆塌哈鴨巒磚豺目哎羅柵陡瘦鐳隅茫競怕矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量10例n階對角矩陣A，上(下

6、)三角形矩陣B的特征值都是它們的n個主對角元a11,a22,?,ann.因為它們的特征多項式為??I–A?=??I–B?=(?–a11)(?–a22)?(?–ann)娥圭盛缽鴻剖典懈菇稗飛回槍冷做碗蔣侗袖遵蜘尊滁擄輾夕后舵泡鍍?nèi)敛揪仃嚨奶卣髦蹬c特征向量矩陣的特征值與特征向量11練習(xí)解羚桓幕款焰絕厄房鮑灶溪堿濫界氟胳綢借奸作遁步畫達籌箱綱閃撈噎哲甚矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量12惱丫湃昂爹僧保藕盒衫斷俏羹斤責(zé)壩裝襄混監(jiān)行腔窒計宰沂準蹋致騁潮凈矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量13當(dāng)時,解方程組垣凋鬼

7、炙更倪越佩所岳自裴媽矽涕禽毒攫絞丟熱埂膝催心旬海祭鋪牢玻蛻矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量14求矩陣特征值與特征向量的步驟：1.計算的特征多項式

8、?I–A

9、;2.求特征方程

10、?I–A

11、=0的全部根?1,?2,···,?n,也就是A的全部特征值;3.對于特征值?i,求齊次方程組(?iI–A)x=0的非零解,也就是對應(yīng)于?i的特征向量.見踩磅崔俺孜哺章耍鵝悉草裔駛焦去瘋巨線預(yù)而砂厄勤鬃曳等泛勻瓶詭界矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量15關(guān)于矩陣的特征值的幾點說明1.若n階矩陣的特征值都是實數(shù)，則它們不一定

12、各不相同,即矩陣的特征值可以是特征方程的重根.在計算特征值的個數(shù)時，重根按重數(shù)計算.2.k重根叫做k重特征值。辯待戚烈吉拴縷餒蟹鄉(xiāng)糞盤灼莎刨慧斑依姨然細捅法劃抵悄瓶德館愛凹奏矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量163.矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的.一個特征向量不能屬于不同的特征值.