標(biāo)準(zhǔn)偏差的幾個(gè)計(jì)算公式及其應(yīng)用.pdf

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1、年月宇航計(jì)測技術(shù)第卷第期標(biāo)準(zhǔn)偏差的幾個(gè)計(jì)算公式及其應(yīng)用周富臣‘‘文摘給出了計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的理論式、常用估計(jì)式、無偏估計(jì)式、最大似然估計(jì)式、極差估計(jì)式和平均誤差估計(jì)式并給出了各公式的使用條件。通過實(shí)例比較了各公式計(jì)算結(jié)果的差異。,計(jì)算,公式,比較,應(yīng)主題詞標(biāo)準(zhǔn)偏差用問題的提出標(biāo)準(zhǔn)偏差是正態(tài)分布的重要參數(shù)之一,它在誤差理論、質(zhì)量管理、計(jì)量抽樣檢驗(yàn)等領(lǐng)域中均得到廣泛的應(yīng)用。因此,標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算十分重要。它的準(zhǔn)確與否對測量不確定度評定。,,,以及所接收的產(chǎn)品質(zhì)量等均有重要影響然而在對標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算中不論測量次數(shù)多少,。,。有些人均按貝塞爾公式計(jì)算這顯然是不妥當(dāng)?shù)倪@里

2、我們就此問題進(jìn)行一些討論幾個(gè)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的公式。標(biāo)準(zhǔn)偏差的理論計(jì)算公式,,,,,。設(shè)對真值為的某量進(jìn)行一組等權(quán)測量其測得值為?,令測得值與該量真值之占,則有差為真差占一一占一一氏一。一我們定義標(biāo)準(zhǔn)偏差也稱標(biāo)準(zhǔn)差為二一二一顧一收稿日期‘,,。。洛陽第一拖拉機(jī)工程機(jī)械公司高級工程師一一,,,由于任何量的真值都是不可知的因此真差也就無法求得故式只有理論意義而無實(shí)用價(jià)值。。標(biāo)準(zhǔn)偏差的常用估計(jì)貝塞爾公式,—,由于真值是不可知的在實(shí)際應(yīng)用中我們常用次測量的算術(shù)平均值刃無。,·,來代表真值理論上也證明隨著測量次數(shù)的增多算術(shù)平均值最接近書衛(wèi)魚。,。,真值當(dāng)一二時(shí)算術(shù)平均值

3、就是真值于是我們用測得值與算術(shù)平均值廠之差?！嗾`差也叫殘差來代替真差占一一,一乙,一通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得真差占與剩余誤差的關(guān)系為甲拼一一蘭生甲鄉(xiāng)’一洲洲將,上式代入式有工一。,寧“’一一洲式就是著名的貝塞爾公式。它用于有限次測量次數(shù)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算。由于當(dāng),,,。五一。。時(shí)可見貝塞爾公式與的定義式是一致的,,。,應(yīng)該指出在為有限時(shí)用貝塞爾公式所得到的是標(biāo)準(zhǔn)偏差的一個(gè)估計(jì)值它不是。。,口。,。總體標(biāo)準(zhǔn)偏差因此我們稱式為標(biāo)準(zhǔn)偏差的常用估計(jì)為了強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)我們將的‘”。,估計(jì)值用,表示于是將式改寫為一,一一共女即,勺一仁兮在求時(shí),為免去求算術(shù)平均值工的麻煩,經(jīng)數(shù)學(xué)推

4、導(dǎo)有過程從略,,寶、一五’一群藝藝一,‘于是式可寫為“、。“「藝“一,一寶,—?dú)?、’。按式勺求時(shí)只需求出各測得值的平方和習(xí)升和各測得值之和的平方名即可一一。標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏估計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中定義歲為樣本方差合,,二、,“夕以‘一“—一洲護(hù),護(hù),數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明歲是總體方差的無偏估計(jì)即在大量重復(fù)試驗(yàn)中歲圍繞散布它們之。‘,。,間沒有系統(tǒng)誤差而式在為有限時(shí)并不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏估計(jì)也就是說。,。。和之間存在系統(tǒng)誤差對于服從正態(tài)分布的正態(tài)總體總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏估計(jì)值今為,、,一。寧、一“,擊客厚普。,一、吸—藝譽(yù)乙‘、。,。,。。即和僅相差一個(gè)系數(shù)是與樣本個(gè)數(shù)測量次

5、數(shù)有關(guān)的一個(gè)系數(shù)值見表計(jì)算。時(shí)用到,一,、一“今了萬表。值刀?？?,。尺】一?！??！啊??！??！啊！俊！啊?,,。,,,‘由表數(shù)據(jù)知當(dāng)時(shí)、因此當(dāng)時(shí)式和式之。,。,間的差異可略而不計(jì)在一一時(shí)最宜用貝塞爾公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差當(dāng)時(shí)由于。,,。值的影響已不可忽略宜用式’求標(biāo)準(zhǔn)偏差這時(shí)仍用貝塞爾公式顯然是不妥的標(biāo)準(zhǔn)偏差的最大似然估計(jì)。,且當(dāng)為有限時(shí)就將標(biāo)準(zhǔn)偏差的定義式中的真值用算術(shù)平均值工代替得到一一一廠“一。,。式適用于時(shí)的情況當(dāng)時(shí)和伽一對計(jì)算結(jié)果的影響就很小了。標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏極差估計(jì),,由于以上幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算公式計(jì)算量較大不宜現(xiàn)場采用而極差估計(jì)的方法則有

6、運(yùn)算簡單、計(jì)算量小、宜于現(xiàn)場采用的特點(diǎn)。極差用表示。所謂極差就是從正態(tài)總體中隨機(jī)抽取的個(gè)樣本即測得值中的最大值與最小值之差。,,,,?,乙,,,若對某量作次等權(quán)測量測得且它們服從正態(tài)分布則。一數(shù)學(xué)上給出用極差來估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算公式為一豐。。,。稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏極差估計(jì)值為與樣本個(gè)數(shù)城測量次數(shù)有關(guān)的無偏極差系數(shù)其值見表。表值成萬‘·‘,‘·“】·。???·。?·一·連?“·?“·“一一“··????““““???·””·。一““·‘”·‘?。“·‘”·”‘?男?！啊巍啊ぁ??”·“”·竺。?叩“·“·了藝?“·“·”?”··。‘。。?！啊巍ぁ?

7、“·“·,·,,八,刀從表看出當(dāng)硯時(shí)、石丁因此更粗略的估計(jì)值為,一一萬,,,還可以看出當(dāng)鎮(zhèn)燕時(shí)、因而“二〔,,,,這樣利用式或式,’不需查表即可對標(biāo)準(zhǔn)偏差值作出快速粗略估計(jì)用以校核用貝塞爾等公式的計(jì)算是否有原則錯(cuò)誤。,。,應(yīng)指出式的準(zhǔn)確度比其他幾個(gè)公式的準(zhǔn)確度要低但當(dāng)鎮(zhèn)鎮(zhèn)時(shí)式不僅,,。,大大提高了計(jì)算速度而且還頗為準(zhǔn)確能保證一定的準(zhǔn)確度當(dāng)時(shí)由于計(jì)算時(shí)舍,。,去的數(shù)據(jù)信息較多因而誤差較大為了提高準(zhǔn)確度這時(shí)應(yīng)將測得的數(shù)據(jù)分成四個(gè)或五個(gè),,,,?,,一組先求出各組的極差再由各組極差求出極差平均值天、。十一十?數(shù)理統(tǒng)計(jì)給出極差平均值滅和總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系為二’一,

8、。,應(yīng)指出此時(shí)的大小要用每組的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)去查表并且分組時(shí)一定要按測得