專題9 等差、等比數(shù)列的概念和性質(zhì).ppt

《專題9 等差、等比數(shù)列的概念和性質(zhì).ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、等差、等比數(shù)列的概念和性質(zhì)1.(2010·通州模擬)數(shù)列a1+2，…，ak+2k，…，a10+20共有10項，且其和為240，則a1+…+ak+…+a10之值為.解析：(a1+2)+…+(ak+2k)+…+(a10+20)=(a1+…+ak+…+a10)+(2+…+2k+…+20)=(a1+…+ak+…+a10)+110=240.所以a1+…+ak+…+a10=130.2.(2010·江蘇通州中學(xué)高模)已知數(shù)列{an}對于任意p，q∈N*有ap+aq=ap+aq，若a1=，則a100=.解析：取p=n，q=1，所以an+1-an=，所以數(shù)列{an}

2、是公差、首項都為的等差數(shù)列，a100=+(100-1)=40.例1：已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a(x∈R)同時滿足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一個元素；②在定義域內(nèi)存在0f(x2)成立．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=f(n)．(1)求函數(shù)f(x)的表達式；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．分析:第(1)問由已知條件確定a的值時要注意“在定義域內(nèi)存在0f(x2)成立”與“函數(shù)y=f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減”之間的區(qū)別；第(2)問主要是利用an與Sn的關(guān)系．解析：(

3、1)因為不等式f(x)≤0的解集有且只有一個元素，所以判別式=a2-4a=0，解得a=0或a=4.當(dāng)a=0時，函數(shù)f(x)=x2在(0，+∞)上遞增，不滿足條件②；當(dāng)a=4時，函數(shù)f(x)=x2-4x+4在(0,2)上遞減，滿足條件②綜上得a=4，即f(x)=x2-4x+4.(2)由(1)知Sn=n2-4n+4=(n-2)2，當(dāng)n=1時，a1=S1=1；當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=(n-2)2-(n-3)2=2n-5，所以an=.變式1.等差數(shù)列{an}中，公差d0，a2是a1與a4的等比中項，已知數(shù)列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，

4、…成等比數(shù)列，求數(shù)列{kn}的通項公式．解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則，a2·a2=a1a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，即d2-a1d=0.因為d0，所以d=a1，等比數(shù)列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…的公比q===3，所以akn=a1·3n+1.akn既是等差數(shù)列{an}中的第kn項，同時又是等比數(shù)列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…中的第(n+2)項，所以a1+(kn-1)·a1=a1·3n+1，kn=3n+1.分析：立足基礎(chǔ)，注意深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其等價形式，注重代數(shù)式的有序變形．分析：(1

5、)注意基本量及其關(guān)系的運用，知三求二；(2)不可能、不成立問題常通過舉反例來處理，一般性證明宜用反證法．1．等差、等比數(shù)列的結(jié)論，如(1)an是等差數(shù)列，Sn=i.(ⅰ)m+n=p+q?am+an=ap+aq；(ⅱ)數(shù)列：Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…，是等差數(shù)列；(ⅲ)S2n-1=(2n-1)an.(2)an是等比數(shù)列，Sn=i.(ⅰ)m+n=p+q?aman=apaq；(ⅱ)數(shù)列：Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…(q1)是等比數(shù)列；(ⅲ)a1a2…a2n-1=(an)2n-1.2．一般數(shù)列求和的幾種常用方法、和與項之間的關(guān)系：(1

6、)分項求和、并項求和、裂項相消、倒序相加、錯位相減等；(2)Sn=a1+a2+…+anan=(2010·安徽卷)(本小題滿分14分)設(shè)數(shù)列a1，a2，…，an，…中的每一項都不為0.證明：{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是：“對任何n∈N*，都有++…+=.”證明：(1)先證必要性設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.若d=0，則所述等式顯然成立．(2分)若d0，則++…+==(2)再證充分性依題意有++…+=；①++…++，②②-①，得-③在上式兩端同乘a1an+1an+2，得a1=(n+1)an+1-nan+2；③同理可得a1=nan-(n-1)an+1.

7、④③-④，得2nan+1=n(an+2+an)，即an+2-an+1=an+1-an，所以an是等差數(shù)列．由(1)(2)命題成立．1．證明題要注意格式規(guī)范；2．分必要性、充分性兩大塊分別處理．先從容易處即必要性的證明下手；3．必要性證明時因公差d在分母上出現(xiàn)，所以要分d=0和d0兩種不同的情況，事實上，以字母形式出現(xiàn)的題都要注意這個問題；4．充分性證明時兩次使用構(gòu)造平行式相減法，這是解決數(shù)列問題、化簡數(shù)列關(guān)系式的常用方法之一.