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《函數(shù)的凹凸性與函數(shù)的作圖.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、4.4函數(shù)的凹凸性與函數(shù)的作圖4.4.1曲線的凹凸性與拐點4.4.2曲線的漸近線4.4.3函數(shù)的作圖問題:如何研究曲線的彎曲方向?問題:如何用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述曲線的凹凸性?定義4.2如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點的切線的上方，則稱曲線在這個區(qū)間內(nèi)是上凹的；如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點的切線的下方，則稱曲線在這個區(qū)間內(nèi)是下凹的(上凹簡稱凹,下凹簡稱凸)．4.4.1曲線的凹凸性與拐點曲線凹凸的判定:定理3.10設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，(2)若 時，恒有 ，則曲線 在 內(nèi)下凹(簡稱凸的)．(1)若
2、 時，恒有 ，則曲線在 內(nèi)上凹(簡稱凹的)；例證明函數(shù)的圖像是處處下凹(凹)的故曲線在整個定義域內(nèi)是下凹(凸)的解定義4.3曲線上凹與下凹的分界點稱為曲線的拐點.求拐點的一般步驟：②令 ，解出全部根，并求出所有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點；①求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) ??；③對步驟②求出的每一個點，檢查其左、右鄰近的 的符號，如果異號則該點為曲線的拐點；如果同號則該點不是曲線的拐點．例1求曲線 的凹凸區(qū)間與拐點.解，令 ，解得 ， ?。拯c拐點曲線在 及 兩個區(qū)間上凹，在 區(qū)間下凹， 和 是它的兩個
3、拐點.例2求曲線 的凹凸區(qū)間與拐點.解， ；令 ，解得 ??；只要 ，恒有 ，而函數(shù)沒有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點，所以曲線沒有拐點，它在整個 是上凹的．例3求曲線 的凹凸區(qū)間與拐點.解， ??；在 內(nèi)恒不為零，但 時，不存在．在4的左側(cè)鄰近時， ?。辉?的右側(cè)鄰近時， .即 在 兩側(cè)異號，所以 是曲線的拐點.練習(xí)求下列曲線的拐點，并討論其凹凸性.2解凹的凸的凹的拐點拐點3解定義4.4如果曲線上的一點沿著曲線趨于無窮遠時，該點與某條直線的距離趨于零，則稱此直線為曲線的
4、漸近線.設(shè)曲線 ，如果 ,則稱直線為曲線 的水平漸近線.4.4.2曲線的漸近線1.水平漸近線如果曲線 在點 間斷，且，則稱直線 為曲線的鉛垂?jié)u近線．例4求曲線 的水平漸近線和鉛垂?jié)u近線.2.鉛垂?jié)u近線解因為 ，所以 是曲線的水平漸近線．又因為5是 的間斷點,且，所以 是曲線的鉛垂?jié)u近線．例5求曲線 的水平漸近線和鉛垂?jié)u近線.解因為 ，所以 是曲線的水平漸近線．又因為1和-1是 的間斷點，且， ，所以和 是曲線的鉛垂?jié)u近線．4.4.3函
5、數(shù)作圖描繪函數(shù)圖象的具體方法如下:1.確定函數(shù)的定義域的值域；2.確定曲線關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱性；3.求出曲線和坐標(biāo)軸的交點；4.判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并求出極值；5.確定函數(shù)的凹向區(qū)間和拐點；6.求出曲線的漸近線；7.列表討論并描繪函數(shù)的圖象.例6描繪函數(shù) 的圖象．解(1)定義域：.(2)函數(shù)不具有奇偶性，因此曲線無對稱性.(3)令 ，得 ， ，表明曲線與軸有兩個交點，一個是 ，一個是.(4) ，令 ，得 ， .，所以 為極大值點，為極大值.，所以 為極小值點，為極小值；(5)令 ，得
6、 ．在 的左側(cè)有 ，在 的右側(cè)有 ，而，所以 是拐點．(6)無漸近線.(7)將上面的結(jié)果列表拐點極小值極大值例7描繪函數(shù) 的圖象．解(1)定義域： ．(2)函數(shù)不具有奇偶性，因此曲線無對稱性.表明曲線與 軸交于 和 .(3)令 ，即 ，，解得(4)，令，得.在 左側(cè)有 ，在 右側(cè)有 ，所以 是極小值點，是極小值．(5).令 ，得 .當(dāng) 從左向右經(jīng)過-3時， 由負(fù)變正，又 ，所以是曲線的拐點.(6)因為 ，所以是曲線的水
7、平漸近線.又因為 是函數(shù)的間斷點，且，所以 是曲線的鉛垂?jié)u近線．(7)將上面的結(jié)果列表極小值拐點不存在
