函數(shù)的凹凸性與函數(shù)的作圖.ppt

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1、4.4函數(shù)的凹凸性與函數(shù)的作圖4.4.1曲線(xiàn)的凹凸性與拐點(diǎn)4.4.2曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)4.4.3函數(shù)的作圖問(wèn)題:如何研究曲線(xiàn)的彎曲方向?問(wèn)題:如何用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述曲線(xiàn)的凹凸性?定義4.2如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線(xiàn)弧位于其上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)的上方，則稱(chēng)曲線(xiàn)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是上凹的；如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線(xiàn)弧位于其上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)的下方，則稱(chēng)曲線(xiàn)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是下凹的(上凹簡(jiǎn)稱(chēng)凹,下凹簡(jiǎn)稱(chēng)凸)．4.4.1曲線(xiàn)的凹凸性與拐點(diǎn)曲線(xiàn)凹凸的判定:定理3.10設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，(2)若　　　　時(shí)，恒有　　　　，則曲線(xiàn)　　　　在　　　內(nèi)下凹(簡(jiǎn)稱(chēng)凸的)．(1)若　

2、　　　時(shí)，恒有　　　　，則曲線(xiàn)在　　　內(nèi)上凹(簡(jiǎn)稱(chēng)凹的)；例證明函數(shù)的圖像是處處下凹(凹)的故曲線(xiàn)在整個(gè)定義域內(nèi)是下凹(凸)的解定義4.3曲線(xiàn)上凹與下凹的分界點(diǎn)稱(chēng)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn).求拐點(diǎn)的一般步驟：②令　　　　，解出全部根，并求出所有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；①求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)　　??；③對(duì)步驟②求出的每一個(gè)點(diǎn)，檢查其左、右鄰近的　　　的符號(hào)，如果異號(hào)則該點(diǎn)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn)；如果同號(hào)則該點(diǎn)不是曲線(xiàn)的拐點(diǎn)．例1求曲線(xiàn)　　　　　　　的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).解，令　　　，解得　　　，　　．拐點(diǎn)拐點(diǎn)曲線(xiàn)在　　　及　　　兩個(gè)區(qū)間上凹，在　　區(qū)間下凹，　　和　　是它的兩個(gè)

3、拐點(diǎn).例2求曲線(xiàn)　　　　　　　的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).解，　　　　　　；令　　　，解得　　??；只要　　　，恒有　　　，而函數(shù)沒(méi)有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，所以曲線(xiàn)沒(méi)有拐點(diǎn)，它在整個(gè)　　　　是上凹的．例3求曲線(xiàn)　　　　　　　的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).解，　　　　　　?。辉凇　　　?nèi)恒不為零，但　　　時(shí)，不存在．在4的左側(cè)鄰近時(shí)，　　　；在4的右側(cè)鄰近時(shí)，　　　.即　在　　兩側(cè)異號(hào)，所以　　是曲線(xiàn)的拐點(diǎn).練習(xí)求下列曲線(xiàn)的拐點(diǎn)，并討論其凹凸性.2解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)3解定義4.4如果曲線(xiàn)上的一點(diǎn)沿著曲線(xiàn)趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，該點(diǎn)與某條直線(xiàn)的距離趨于零，則稱(chēng)此直線(xiàn)為曲線(xiàn)的

4、漸近線(xiàn).設(shè)曲線(xiàn)　　　　，如果　　　　　　,則稱(chēng)直線(xiàn)為曲線(xiàn)　　　　的水平漸近線(xiàn).4.4.2曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)1.水平漸近線(xiàn)如果曲線(xiàn)　　　　在點(diǎn)　間斷，且，則稱(chēng)直線(xiàn)　　　為曲線(xiàn)的鉛垂?jié)u近線(xiàn)．例4求曲線(xiàn)　　　　的水平漸近線(xiàn)和鉛垂?jié)u近線(xiàn).2.鉛垂?jié)u近線(xiàn)解因?yàn)椤　　　　?，所以　　　是曲線(xiàn)的水平漸近線(xiàn)．又因?yàn)?是　　　　的間斷點(diǎn),且，所以　　是曲線(xiàn)的鉛垂?jié)u近線(xiàn)．例5求曲線(xiàn)　　　　　的水平漸近線(xiàn)和鉛垂?jié)u近線(xiàn).解因?yàn)椤　　　　　　　?，所以　　是曲線(xiàn)的水平漸近線(xiàn)．又因?yàn)?和-1是　　　　　的間斷點(diǎn)，且，　　　　　　　，所以和　　　是曲線(xiàn)的鉛垂?jié)u近線(xiàn)．4.4.3函

5、數(shù)作圖描繪函數(shù)圖象的具體方法如下:1.確定函數(shù)的定義域的值域；2.確定曲線(xiàn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)性；3.求出曲線(xiàn)和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；4.判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并求出極值；5.確定函數(shù)的凹向區(qū)間和拐點(diǎn)；6.求出曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)；7.列表討論并描繪函數(shù)的圖象.例6描繪函數(shù)　　　　　的圖象．解(1)定義域：.(2)函數(shù)不具有奇偶性，因此曲線(xiàn)無(wú)對(duì)稱(chēng)性.(3)令　　　，得　　　，　　，表明曲線(xiàn)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)是　　，一個(gè)是.(4)　　　　　　　　　　，令　　　，得　　　，　　.，所以　　為極大值點(diǎn)，為極大值.，所以　　　為極小值點(diǎn)，為極小值；(5)令　　　，得　

6、?。凇　　〉淖髠?cè)有　　　，在　　的右側(cè)有　　　，而，所以　　是拐點(diǎn)．(6)無(wú)漸近線(xiàn).(7)將上面的結(jié)果列表拐點(diǎn)極小值極大值例7描繪函數(shù)　　　　　　　的圖象．解(1)定義域：　　　　　?。?2)函數(shù)不具有奇偶性，因此曲線(xiàn)無(wú)對(duì)稱(chēng)性.表明曲線(xiàn)與　軸交于　　　　和　　　　.(3)令　　　，即　　　　　　　　，，解得(4)，令，得.在　　　左側(cè)有　　　，在　　　右側(cè)有　　　，所以　　　是極小值點(diǎn)，是極小值．(5).令　　　，得　　　.當(dāng)　從左向右經(jīng)過(guò)-3時(shí)，　由負(fù)變正，又　　　　　　，所以是曲線(xiàn)的拐點(diǎn).(6)因?yàn)椤　　　　　　　　。允乔€(xiàn)的水

7、平漸近線(xiàn).又因?yàn)椤　∈呛瘮?shù)的間斷點(diǎn)，且，所以　　　是曲線(xiàn)的鉛垂?jié)u近線(xiàn)．(7)將上面的結(jié)果列表極小值拐點(diǎn)不存在