剩余類及完全剩余系.doc

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1、§2剩余類及完全剩余系定義設(shè)是一個(gè)給定的正整數(shù)，表示所有形如的整數(shù)組成的集合，則稱為模的剩余類.定理1設(shè)是模的剩余類，則（?。┟恳徽麛?shù)必包含于某一個(gè)類里，而且只能包含于一個(gè)類里；（ⅱ）兩個(gè)整數(shù)屬于同一類的充分必要條件是證（ⅰ）設(shè)是任意一個(gè)整數(shù)，則由帶余除法，得，故故每一整數(shù)必包含于某一類里.又設(shè)且，這里，則存在整數(shù)使得于是，但是，故（ⅱ）設(shè)是兩個(gè)整數(shù)，并且都在內(nèi)，則存在整數(shù)分別使得故反之，若，則由同余的定義知，被除所得的余數(shù)相同，設(shè)余數(shù)都為，則和都屬于同一類.定義在模的剩余類中，各取一數(shù)，此個(gè)數(shù)稱為模的一個(gè)完全剩余系.推論個(gè)整數(shù)作成模的一個(gè)完

2、全剩余系的充分必要條件是這個(gè)整數(shù)兩兩對(duì)模不同余.證充分性設(shè)是個(gè)兩兩對(duì)模不同余的整數(shù).由定理1知，每個(gè)整數(shù)必在模的個(gè)剩余類中某一剩余類里，且只能在一個(gè)剩余類里.因是個(gè)兩兩對(duì)模不同余的整數(shù)，故有定理1得，分別屬于不同的剩余類，故是模的一個(gè)完全剩余系.必要性設(shè)是模的一個(gè)完全剩余系，則由完全剩余系的定義得，這個(gè)數(shù)分別屬于不同的個(gè)剩余類.由定理1得，兩兩對(duì)模不同余.是模的一個(gè)完全剩余系.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，是模的一個(gè)完全剩余系.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，與都是模的完全剩余系.定理2設(shè)是一個(gè)正整數(shù)，都為整數(shù)，，若通過(guò)模的一個(gè)完全剩余系，則也通過(guò)模的一個(gè)完全剩余系.證設(shè)通過(guò)模的

3、完全剩余系.下面證明也通過(guò)模的一個(gè)完全剩余系.根據(jù)定理1的推論，只需證明兩兩對(duì)模不同余.因是模的一個(gè)完全剩余系，故由定理1的推論得，兩兩對(duì)模不同余.下面用反證法證明兩兩對(duì)模不同余.假設(shè)不是兩兩對(duì)模不同余，則其中有兩個(gè)數(shù)對(duì)模同余，設(shè)，則因，故這與兩兩對(duì)模不同余矛盾.定理3設(shè)，而分別通過(guò)模的一個(gè)完全剩余系，則通過(guò)模的一個(gè)完全剩余系.證當(dāng)分別通過(guò)模的一個(gè)完全剩余系時(shí)，共取了個(gè)整數(shù)值，下面證明這個(gè)整數(shù)兩兩對(duì)模不同余.設(shè)，（1）其中是所通過(guò)的模的完全剩余系中的數(shù)，由（1）得，，從而.因，故又因是模的完全剩余系中的數(shù)，故同理，故當(dāng)分別通過(guò)模的一個(gè)完全剩余

4、系時(shí)，共取了個(gè)整數(shù)值，下面證明這個(gè)整數(shù)兩兩對(duì)模不同余.從而由定理1的推論得，這個(gè)整數(shù)作成模的一個(gè)完全剩余系.定義叫做模的最小非負(fù)完全剩余系；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，叫做模的絕對(duì)最小完全剩余系；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，或叫做模的絕對(duì)最小完全剩余系.作業(yè)P57：1,2,3,4，習(xí)題解答1.證明是模的一個(gè)完全剩余系。證易知，當(dāng)時(shí)，通過(guò)個(gè)整數(shù)，下面證明這個(gè)整數(shù)對(duì)模兩兩部同余。設(shè)（1）其中則又因，故從而由（1）式得又由得故這個(gè)整數(shù)對(duì)模兩兩不同余，從而它們作成模的完全剩余系。2.若是個(gè)兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，分別通過(guò)模的完全剩余系，則通過(guò)模的完全剩余系，其中。證因是個(gè)兩兩互質(zhì)的正整數(shù)

5、，故當(dāng)分別通過(guò)模的完全剩余系時(shí)，通過(guò)個(gè)整數(shù)。下證這個(gè)整數(shù)對(duì)模兩兩不同余。設(shè)其中是所通過(guò)的模的剩余系中的整數(shù)，則故這個(gè)整數(shù)對(duì)模兩兩不同余，從而它們作成模的完全剩余系。3.（ⅰ）證明整數(shù)中每一個(gè)整數(shù)都有而且只有一種方法表示成（1）的形狀，其中；反之，（1）式中的每一數(shù)都，并且（ⅱ）說(shuō)明應(yīng)用個(gè)特制的砝碼，在天平上可以量出1到中任何一個(gè)克（注：原題此處為“斤”）數(shù)。證（?。┊?dāng)分別取時(shí)，共取了個(gè)整數(shù)值，下證這個(gè)整數(shù)對(duì)模兩兩不同余。設(shè)（2）其中則由及（2）式得同理可得故這個(gè)整數(shù)作成模的一個(gè)完全剩余系。因此，在中任取一個(gè)整數(shù)，存在整數(shù)使得由此得(3)因，故

6、（4）又因故，即（5）由（3），（5）兩式得從而故整數(shù)中每一個(gè)整數(shù)都有表示成（6）其中。下證這樣的表示方法是唯一的。設(shè)還有如下的表示（7）其中。則由（6），（7）兩式得（8）由（8）式得由及（8）式得（9）由（9）式得同理可得因此，整數(shù)中每一個(gè)整數(shù)都有而且只有一種方法由（6）式表示。從（4）式還可看出，（1）式中的每一數(shù)都，并且（ⅱ）用克數(shù)分別為的個(gè)特制的砝碼，在天平上可以量出1到中任何一個(gè)克數(shù)。對(duì)于質(zhì)量在1到克物體，設(shè)其質(zhì)量為克，由（?。?，可以由（6）式表示。把物體放在天平的左盤上，對(duì)每一個(gè)，若就把質(zhì)量為克的那個(gè)砝碼放在天平的左盤上，若就不

7、需要質(zhì)量為克的那個(gè)砝碼，若就把質(zhì)量為克的那個(gè)砝碼放在天平的右盤上。物體的質(zhì)量為天平右盤上所有砝碼的質(zhì)量總和減去天平左盤上所有砝碼質(zhì)量總和。4.若是個(gè)正整數(shù)，分別通過(guò)模的完全剩余系，則通過(guò)模的完全剩余系。證當(dāng)分別通過(guò)模的完全剩余系時(shí)，通過(guò)個(gè)整數(shù)。下證這個(gè)整數(shù)對(duì)模兩兩不同余。設(shè)（1）其中是所通過(guò)的模的剩余系中的整數(shù)，則因是所通過(guò)的模的剩余系中的整數(shù)，故（2）由（1）和（2）得同理可得故這個(gè)整數(shù)對(duì)模兩兩不同余，從而它們作成模的完全剩余系。