完全剩余系與縮剩余系的性質(zhì)及解法

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1、6中等數(shù)學(xué)完全剩余系與縮剩余系的性質(zhì)及解法何憶捷(華東師范大學(xué)理工學(xué)院數(shù)學(xué)系2012級(jí)博士研究生,200041)中圖分類號(hào):0156.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1005—6416(2015)06-0006—06(本講適合高中)價(jià)于其均與n互素,且關(guān)于模凡兩兩不同余.剩余類與剩余系是初等數(shù)論中的重要概性質(zhì)2若a(1≤i≤12)構(gòu)成模n的完念.在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,除數(shù)論問題外,許多組合系,、m∈Z,(m,12)=1,則k+(1≤≤n)題、甚至代數(shù)題也與剩余類、剩余系有密切的也構(gòu)成模的完系;聯(lián)系.在解題時(shí),不僅需要熟悉剩余系(完全若a(1≤i≤(n))構(gòu)成模的縮系,剩余系或縮

2、剩余系)的性質(zhì),還經(jīng)常需要借、m∈Z,(m,n)=1,貝0n+mn(1≤i≤助整體化思想來考慮剩余系.(n))也構(gòu)成模的縮系.性質(zhì)3若a(1≤i≤n)構(gòu)成模凡的完1知識(shí)介紹系,則1.1定義一(±!2(1)剩余類對(duì)正整數(shù)n,把全體整數(shù)按模12的余數(shù)『詈(modn),凡為偶數(shù);三分成/2類,每一類數(shù)的全體稱為模12的一個(gè)【0(modn),n為奇數(shù).剩余類(或稱同余類).性質(zhì)4若a、b(1≤i≤(n))均構(gòu)成(2)完全剩余系模n的縮系,則在模12的每個(gè)剩余類中各取一個(gè)元素,則這n個(gè)數(shù)就組成模n的一個(gè)完全剩余系酊6(m。d凡).(以下簡(jiǎn)稱完系).性質(zhì)3與性質(zhì)4是從整體的角

3、度考慮完(3)縮剩余系系和縮系,這樣的想法也是解決許多問題的在任意一個(gè)模n的完全剩余系中,僅保出發(fā)點(diǎn).以下兩例是其簡(jiǎn)單應(yīng)用.留與n互素的那些數(shù)(共(凡)個(gè)數(shù),其中,2應(yīng)用舉例(n)為歐拉函數(shù)),則這(12)個(gè)數(shù)組成模12的一個(gè)縮剩余系(或稱既約剩余系、簡(jiǎn)化剩例1設(shè)兒為偶數(shù),0i、bi(1≤i≤n)均構(gòu)余系,以下簡(jiǎn)稱縮系).成模n的完系.證明la+b(1≤i<~/2)不構(gòu)成1.2常用性質(zhì)模凡的完系.性質(zhì)1對(duì)于/2個(gè)整數(shù),其構(gòu)成模n的證明由性質(zhì)3知完系等價(jià)于其關(guān)于模n兩兩不同余;對(duì)于(n)個(gè)整數(shù),其構(gòu)成模的縮系等∑ai三∑b三詈(mod/2).收稿13期:2015—0

4、2—02則∑i=1(。+bi)三號(hào)+2~2(m。d).2015年第6期7故a+bi(1≤≤n)不構(gòu)成模n的完系.解由于a。,a:,?,a構(gòu)成模n的縮例2設(shè)整數(shù)n>1,(a,n)=1.證明:系,而(n,2)=1,則2a,2a,?,2a也構(gòu)成a‘三1(modn).模n的縮系.證明設(shè)a1,a2,?,()構(gòu)成模17,的縮系.由性質(zhì)2知aal,aa2,?,aa)也構(gòu)成模故Ink=lsinaZnkl_I靠k=lsinIn的縮系.a(chǎn)in】j[cos根據(jù)性質(zhì)4得k=lk=lZnk1.口l02?a()蘭(aa1)(aa2)?(aa())因?yàn)榱in≠o'所以,=a縱ak=lIa2?

5、a∞()(modn).又(aIa2~o.a(chǎn)),n)=1,故Il~COSanSkl=1.口‘蘭1(modn).【注】本題即為歐拉定理.下面考慮nc。s的符號(hào),只需確定k=l接下來再看幾個(gè)例子.例3設(shè)n為正偶數(shù).證明:在n×n矩陣0。,0:,?,口中大于詈的數(shù)的個(gè)數(shù).l2n不妨設(shè)0n—al>n—a2>?>n—am>0,A=342且n—a(1≤≤m)也構(gòu)成模n的縮系.:::●●●從而,a+1一=n—a(1≤≤m).凡1n一1中找不到一組1,2,?,n,其兩兩不同行且不因此,0。,0,?,0中恰有一半大于詈同列.(注意每個(gè)口均不為).

6、證明反證法.假設(shè)有一組1,2,?,兩兩不同行且不同列,記這組中的k(1≤k≤n)在第a行故亙cos,號(hào)I蕻cosnl第6列.則a、b(1≤i≤n)分別構(gòu)成模n的=(一1)丁(m=(n)為偶數(shù)).兀為·另一方面,根據(jù)矩陣A的特點(diǎn)知【注】這是一道三角公式與剩余系性質(zhì)的af+bf蘭+1(modn).)綜合題,關(guān)鍵思想是從整體考慮模n的縮系故a+b(1≤≤凡)也構(gòu)成模n的完系.a(chǎn)l,a2,?,a與20l,2口2,?,20,結(jié)合誘導(dǎo)公注意到,17,為偶數(shù),上述結(jié)論與例1矛式建立耳msin與sin之間的關(guān)系,盾.因此,矩陣中不存在一組1,2,?,n兩兩=1,=1,不同行且不同

7、列.恰能求出nCOS的絕對(duì)值.值得注意的【注】本題中,式①刻畫了矩陣的特征,將組合問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于完系的常規(guī)問題.是,若本題中a,,a,?,a僅僅為模n的(任例4設(shè)奇數(shù)凡>1.求nc。s竽的值,意的)縮系,則無法判定立k:1c。sl/,的符號(hào).其中,a。,a,?,a為所有不大于n且與n互例5對(duì)以下兩個(gè)問題,分別求正整數(shù)n素的正整數(shù).的所有可能值:8中等數(shù)學(xué)(1)存在口1,02,?,n,使得0、0l+i(2)若存在整數(shù)0、b(1≤i≤n),使得(1≤i≤)分別構(gòu)成模n的完系;0、6、口+6、口一6(1≤i≤n)均構(gòu)成模n的(2)存在口1,02,?,0,使得口、0+

8、i、完系,

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