完全剩余系與縮剩余系的性質(zhì)及解法_何憶捷

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1、6．中等數(shù)學(xué)＿完全剩余系與箱剩余系的性質(zhì)及解法．何憶捷理工學(xué)脘數(shù)學(xué)系2012200041（華東師范大學(xué)級博士研究生，）＇0－－－中圖分類號：156．1文獻(xiàn)標(biāo)識碼：Ａ文章編號：10056416（2015）06000606本講適合高中）價(jià)于其均與ｎ互素ｎ兩兩不同余．（，且關(guān)于模剩余類與剩余系是初等數(shù)論中的重要概性質(zhì)2若？（1矣ｋ／1）構(gòu)成模／Ｉ的完．ｋｍＧＺｍｎ＝1則ｋ＋1矣ｉ矣ｒａ念在數(shù)學(xué)競賽中，除數(shù)論問題外，許多組合系，、，（，），／＾（）題、甚至代數(shù)題也與剩余類、剩余系有密切的也構(gòu)成模ｎ的完系；

2、聯(lián)系．在解題時(shí)不僅需要熟悉剩余系（完全若？（1名構(gòu)成?！兜目s系，，ｍｎ＝ｒａｆｔ＋剩余系或縮剩余系）的性質(zhì)經(jīng)常需要借Ｚ（1（1矣ｉ忘，還，，），則助整體化思想來考慮剩余系．＜ｐ（ｎ））也構(gòu)成模ｎ的縮系．性質(zhì)3若1各ｎｎ的？（）構(gòu)成模完！》、介系，則1．1定義＿ｎ（ｎ＋1）ａ⑴剩余類“丨2對正整數(shù)…把全體整數(shù)按模ｎ的余數(shù)（ｍｏｄｎ），ｎ為偶數(shù)；＿ｆ＾一ｎ類一分成，每類數(shù)的全體稱為模ｎ的個(gè)，、＆私剩余類（或稱同余類）．Ｊｌｒ＼＾ｒ、、—士性質(zhì)4右ａＪＪｌＯ名識（ｎ））均構(gòu)成

3、（2）完全剩余系＾在模ｎ的每個(gè)剩余類中各?。瓊€(gè)元素，一＝則這ｎａｂｍｏｄｎ．個(gè)數(shù)就組成模ｎ的個(gè)完全剩余系Ｍｉ＼ＬＸ）以下簡稱完系．（）ｋ質(zhì)3＾性質(zhì)4是從整體的角度考慮完ｏ）ｍｍ＾系和縮系，這樣的想法也是解決許多問題的在任意一個(gè)模ｎ的完全剩余系巾，僅保巾發(fā)點(diǎn)以下兩例是其簡單應(yīng)甩留與ｎ互素的那些數(shù)ｒａ（共識（）個(gè)數(shù)，其中，2應(yīng)用舉例少（…為歐拉函數(shù)），則這ｐ（ｎ）個(gè)數(shù)組成模一的縮剩余系？個(gè)（或稱既約剩余系、簡化剩矣例直設(shè)ｎ為偶數(shù)，ｎ）均構(gòu)、＾‘’Ｔ—＿）成模ｎ的完系．＋61？ｎ）證明（不構(gòu)成￡ｆ12．常用

4、性質(zhì)模ｒａ的完〃手1對于ｎ個(gè)整數(shù)性質(zhì)，其構(gòu)成?！兜模壸C明由性質(zhì)3知完系等價(jià)于其關(guān)于模ｎ兩兩不同余；☆☆ａ＂6＂ｍｏｄｎ－（）對于識⑷個(gè)整數(shù)＇＇，其構(gòu)成?！兜目s系等§ＴＳ＋＝￣ｎ則〉ｂ）＋ｍｏｄ．】（；／Ｖ）‘ｌ2015－－222收稿日期0202ｈｉ：2015年第6期7＋6？？？故ａ（1々各ｒａ）不／ｉ的完系．解由于ａａ成模ｒａ的縮；；構(gòu)成模！，2，，％構(gòu)＝…例2設(shè)整數(shù)ｎ＞ｌ（ａｎ1？證明而ｒａ2＝12ａ2ａ2ａ，，）：系，（，），則?。牐?，，ｍ也構(gòu)成＝1（ｍｏｄｎ．ｒ

5、ａ．）模的縮系？？？ｒａ的證明設(shè)…．ＴＺ2ａｎ，縮系ａ？，，？（？．ｋ丹．ｋ）構(gòu)成模ｆｙ＝．ｓ．ｉｎＩｓｉｎ＿ｎ、辦Ｗｉ，ｆ，皇？ＩＩ…ｎａａ＝＝ｎ由性質(zhì)2知ａａａａ也構(gòu)成模ｆｔｉｋｌ，，，！2ｙ…ｎ的縮系兀ａ7Ｚ？ｍＴ．？ｒｋ＝0Ｊｊ2ＩＩｓｉｎＩＩｃｏｓ？一根據(jù)性質(zhì)ｎｔ＼ｎ4得Ｍ因?yàn)椋妫螅椋睿?所以［，，＝41ｎ…ｍｏｄｒｅ．？⑷（）…又ａａｒａ＝1￥（ｉ2？⑷，），故＝Ｘ立ｃｏｓ．＝ｎＦｐ（ｎ）ｋｌａＥｌｍ

6、ｏｄｎ．（）【注．＾】本題即為歐拉定理下面考慮ｆｔｃｏｓ的符號只需確定，＝ｋｌＵ接下來再看幾個(gè)例子．ｘ－■例3設(shè)ｎ為正偶數(shù)．證明在ｎｎ矩陣ａａａ的數(shù)的個(gè)數(shù)．：，2，，中大于ｉｍ｜＜？？？123Ｔｔｏ…＜ａ＜ａ〈＜ａ＜71？不妨設(shè)，2ｍ則234…1－？？￣ｎ＞ｎ－？ａ＞ｎａ＞＞ｎａｍ＞0ｘ2，－ｒａａｌ＜ｉ＜ｍ也構(gòu)成模／ｉ的縮系．（且；）‘‘？＝－ａ．／ｉａｌＣ＜ｍ而，＿、從ｍ＋1；乂）Ｉ2ｎ－1Ｉ）＂一‘一．．．有中找不到組ｌ2ｒａ

7、不同行且不因此，…，？，，、中恰半大于，，，，其兩兩｜同列．？注意每個(gè)均不為？（）證明反證法．！一2…假設(shè)有組1／Ｉ兩兩不同行且不ＫＩ？？，，，ａ？ａｉｚ☆ｋｋ2＝＿故ｃｏｓ（1〉ｃｏｓＡ同列；ｉｕｏ）了，記這組中的（在第？行ＭＭ71列．則ａｉ分別構(gòu)成模？的－ｆＪＬ－＿＝ｉ，，．＾（）（，（）＾）另一方面4的一道三角公式與剩余系性質(zhì)的，根據(jù)矩陣特點(diǎn)知【注】這是ａ；＋6ｉ＋ｌ（ｍｏｄｎ）．①綜合題關(guān)鍵思想是從整體考慮模／ｉ的縮系產(chǎn)，？＋…“．故ａ1各ｉ忘ｒａ也構(gòu)成模ｎ的完系