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1、中考動點型問題專題一、中考專題詮釋所謂“動點型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,靈活運用有關(guān)數(shù)學知識解決問題.“動點型問題”題型繁多、題意創(chuàng)新,考察學生的分析問題、解決問題的能力,內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識、推理能力等,是近幾年中考題的熱點和難點。二、解題策略和解法精講解決動點問題的關(guān)鍵是“動中求靜”.從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形,通過“對稱、動點的運動”等研究手段和方法,來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形
2、變化,在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況,理解圖形在不同位置的情況,做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學“動點”探究題的基本思路,這也是動態(tài)幾何數(shù)學問題中最核心的數(shù)學本質(zhì)。三、中考考點精講考點一:建立動點問題的函數(shù)解析式(或函數(shù)圖像)函數(shù)揭示了運動變化過程中量與量之間的變化規(guī)律,是初中數(shù)學的重要內(nèi)容.動點問題反映的是一種函數(shù)思想,由于某一個點或某圖形的有條件地運動變化,引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系,這種變化關(guān)系就是動點問題中的函數(shù)關(guān)系.例1(2015
3、?蘭州)如圖,動點P從點A出發(fā),沿線段AB運動至點B后,立即按原路返回,點P在運動過程中速度不變,則以點B為圓心,線段BP長為半徑的圓的面積S與點P的運動時間t的函數(shù)圖象大致為( ?。〢.B.C.D.思路分析:分析動點P的運動過程,采用定量分析手段,求出S與t的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)關(guān)系式可以得出結(jié)論.解:不妨設(shè)線段AB長度為1個單位,點P的運動速度為1個單位,則:(1)當點P在A→B段運動時,PB=1-t,S=π(1-t)2(0≤t<1);(2)當點P在B→A段運動時,PB=t-1,S=π(t-1)2(1≤t≤2
4、).綜上,整個運動過程中,S與t的函數(shù)關(guān)系式為:S=π(t-1)2(0≤t≤2),這是一個二次函數(shù),其圖象為開口向上的一段拋物線.結(jié)合題中各選項,只有B符合要求.故選B.點評:本題結(jié)合動點問題考查了二次函數(shù)的圖象.解題過程中求出了函數(shù)關(guān)系式,這是定量的分析方法,適用于本題,如果僅僅用定性分析方法則難以作出正確選擇.對應(yīng)訓練1.(2015?白銀)如圖,⊙O的圓心在定角∠α(0°<α<180°)的角平分線上運動,且⊙O與∠α的兩邊相切,圖中陰影部分的面積S關(guān)于⊙O的半徑r(r>0)變化的函數(shù)圖象大致是( )A.
5、B.C.D.1.C考點二:動態(tài)幾何型題目點動、線動、形動構(gòu)成的問題稱之為動態(tài)幾何問題.它主要以幾何圖形為載體,運動變化為主線,集多個知識點為一體,集多種解題思想于一題.這類題綜合性強,能力要求高,它能全面的考查學生的實踐操作能力,空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力.動態(tài)幾何特點----問題背景是特殊圖形,考查問題也是特殊圖形,所以要把握好一般與特殊的關(guān)系;分析過程中,特別要關(guān)注圖形的特性(特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。)動點問題一直是中考熱點,近幾年考查探究運動中的特殊性:等腰三角形、直角三角
6、形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。(一)點動問題.例2(2015?河北)如圖,梯形ABCD中,AB∥DC,DE⊥AB,CF⊥AB,且AE=EF=FB=5,DE=12動點P從點A出發(fā),沿折線AD-DC-CB以每秒1個單位長的速度運動到點B停止.設(shè)運動時間為t秒,y=S△EPF,則y與t的函數(shù)圖象大致是( ?。〢.B.C.D.思路分析:分三段考慮,①點P在AD上運動,②點P在DC上運動,③點P在BC上運動,分別求出y與t的函數(shù)表達式,繼而可得出函數(shù)圖象.解:在Rt△ADE中,
7、AD=,在Rt△CFB中,BC=,①點P在AD上運動:過點P作PM⊥AB于點M,則PM=APsin∠A=t,此時y=EF×PM=t,為一次函數(shù);②點P在DC上運動,y=EF×DE=30;③點P在BC上運動,過點P作PN⊥AB于點N,則PN=BPsin∠B=(AD+CD+BC-t)=,則y=EF×PN=,為一次函數(shù).綜上可得選項A的圖象符合.故選A.點評:本題考查了動點問題的函數(shù)圖象,解答本題的關(guān)鍵是分段討論y與t的函數(shù)關(guān)系式,當然在考試過程中,建議同學們直接判斷是一次函數(shù)還是二次函數(shù),不需要按部就班的解出解析
8、式.對應(yīng)訓練2.(2015?北京)如圖,點P是以O(shè)為圓心,AB為直徑的半圓上的動點,AB=2.設(shè)弦AP的長為x,△APO的面積為y,則下列圖象中,能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是( ?。〢.B.C.D.2.A(二)線動問題例3(2015?荊門)如右圖所示,已知等腰梯形ABCD,AD∥BC,若動直線l垂直于BC,且向右平移,設(shè)掃過的陰影部分的面積為S,BP為x,則S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是( )A.