蒙特卡羅方法課件.ppt

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1、第二章蒙特卡洛方法1§2.0概率與統(tǒng)計(jì)-和概率A.OR.B：P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB)-與概率A.AND.B：P(A*B)=P(A

2、B)*P(B)=P(B

3、A)*P(A)-條件概率P(A

4、B)=在隨機(jī)事件B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率-互斥P(A*B)=0，ie隨機(jī)事件AB不能在同一實(shí)驗(yàn)中同時(shí)發(fā)生-相互獨(dú)立P(A*B)=P(A)*P(B)，ieP(A)=P(A

5、B)=P(A

6、1)古典概率：在相同的實(shí)驗(yàn)條件下，隨機(jī)事件A，B按各自確定的概率發(fā)生2全概率公式：貝葉斯Bayes公式：隨機(jī)事件

7、A構(gòu)成互斥完備集合{Ai}，則任意隨機(jī)事件B可表述為3隨機(jī)變量Ｘ:１）在相同的確定實(shí)驗(yàn)條件下，對(duì)Ｘ的觀測(cè)無(wú)法給出單一固定值;２）必須依據(jù)遍舉測(cè)量原則，對(duì)所有可能取值給出發(fā)生概率離散變量舉例:3MeV光子入射屏蔽鉛板的全吸收反應(yīng)過(guò)程反應(yīng)類型X:光電效應(yīng)Compton散射電子對(duì)產(chǎn)生反應(yīng)幾率:e1e2e3e1+e2+e3=100%其中i.e.4連續(xù)型隨機(jī)變量:Ｘ在連續(xù)區(qū)間取值，其取某確定值的概率由分布密度函數(shù)給出分布函數(shù)則有5聯(lián)合分布密度:描述兩個(gè)(i.e.多維)隨機(jī)變量Ｘ與Ｙ的相互關(guān)聯(lián)相互獨(dú)立:6函數(shù)的分

8、布密度:隨機(jī)變量Ｘ密度函數(shù)f(x),其函數(shù)Ｙ=Ｙ(Ｘ)的密度函數(shù)則幾率密度相同變量變換Jaccobi7隨機(jī)變量的特征值1)期望值(mean):出現(xiàn)幾率最大或概率中心的觀測(cè)值2)方差(standarddeviation):隨機(jī)變量x分布對(duì)期望值的離散程度３)特征運(yùn)算:8幾種著名分布1)二項(xiàng)式分布(Binominal):發(fā)生幾率為p,不發(fā)生為q=(1-p),則N次試驗(yàn)中出現(xiàn)k次的幾率其中k=0,1,2,3…,0≤p≤1,p+q≡1例:反應(yīng)觸發(fā)率(triggerrate)定義為e=k/N,求其期望值E[e]

9、與方差D[e]92)泊松分布(Poisson):在相同實(shí)驗(yàn)條件下，相同時(shí)間內(nèi)，隨機(jī)過(guò)程發(fā)生k次的幾率其中關(guān)于分布參數(shù)l有當(dāng)l?∞時(shí)，Poisson分布過(guò)渡到Gaussian分布103)高斯分布(Gaussian):標(biāo)準(zhǔn)化x?(x-m)/s,則正態(tài)分布11分布函數(shù)對(duì)稱分布則,如[a,b]對(duì)m對(duì)稱,有12Gaussian計(jì)數(shù)則,當(dāng)統(tǒng)計(jì)計(jì)數(shù)時(shí),N?∞(N≥10)，過(guò)渡至高斯分布e.g.l>10l?∞E(k)=D(k)=lN(k;m,m)m=m=ls2=m=l計(jì)數(shù)期望值m=N均方根方差s=√N(yùn)13分布函數(shù)4)

10、指數(shù)分布(Exponential):描述自由粒子壽命，或粒子平均自由程分布函數(shù)5)均勻分布(uniform):其中14大數(shù)法則:在函數(shù)f(x)定義域[a,b]內(nèi)，以均勻概率分布隨機(jī)地取N個(gè)數(shù)xi，函數(shù)值之和的算術(shù)平均收斂于函數(shù)的期望值在抽取足夠多的隨機(jī)樣本后，積分的蒙特卡洛估計(jì)值(左邊)將收斂于該積分的正確結(jié)果(右邊)即隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)量為15中心極限定理:大量微弱因素累加而成的隨機(jī)變量服從單一正態(tài)分布例：n個(gè)相互獨(dú)立分布各異的隨機(jī)變量，n?∞，則總和服從正態(tài)分布Gaussian分布隨機(jī)測(cè)量報(bào)道置信水平1

11、6統(tǒng)計(jì)量:隨機(jī)變量X(m,s)一組測(cè)量樣本{xi}的函數(shù)例，樣本平均值作為Ｎ維相互獨(dú)立(測(cè)量)隨機(jī)變量的函數(shù)，y亦為隨機(jī)變量，亦存在分布收斂于期望值(大數(shù)定理)期望值測(cè)量誤差(中心極限)17§2.1MonteCarlo方法理論依據(jù):-均勻分布的算術(shù)平均收斂于真值(大數(shù)法則)置信水平下的統(tǒng)計(jì)誤差(中心極限)針對(duì)待求問(wèn)題，根據(jù)物理現(xiàn)象本身的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，或人為構(gòu)造一合適的依賴隨機(jī)變量的概率模型，使某些隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)量為待求問(wèn)題的解，進(jìn)行大統(tǒng)計(jì)量N?∞的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)方法或計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法。待求問(wèn)題：1）自然界中本

12、身存在的隨機(jī)過(guò)程，如粒子衰變過(guò)程、粒子在介質(zhì)中的輸運(yùn)過(guò)程等2）以慨率模型來(lái)解決不直接具有隨機(jī)性的確定性問(wèn)題，如求p、求積分18例1.Buffon投針實(shí)驗(yàn)求p(1777年)1）平行線間距=針長(zhǎng)=s；2)針與平行線垂線方向夾角a則相交概率為3）各項(xiàng)同性均勻拋針，i.e.夾角a在[0,p]均勻分布4）設(shè)N次拋針，M次相交，則相交概率的期望值為（N?∞大數(shù)定理）19問(wèn):p的測(cè)量精度?服從二項(xiàng)式分布，單次相交概率則20對(duì)真值的測(cè)量精度與測(cè)量次數(shù)平方根反比，即106次實(shí)驗(yàn)才精確到10-321例2.投點(diǎn)法求定積分M

13、N-M隨機(jī)地向x∈[0,1],y∈[0,ymax]正方形內(nèi)投點(diǎn)N，統(tǒng)計(jì)落在曲線下的點(diǎn)數(shù)M，當(dāng)總擲點(diǎn)數(shù)N?∞時(shí)建立恰當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ?，即確定某個(gè)隨機(jī)事件A或隨機(jī)變量X，使得待求問(wèn)題的解等于隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率或隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值。然后重復(fù)進(jìn)行多次的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，對(duì)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，求出A出現(xiàn)的頻數(shù)或X的平均值作為問(wèn)題的近似解。這種方法也叫做蒙特卡洛模擬。22§2.2偽隨機(jī)數(shù)進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬需要大樣本的均勻分布隨機(jī)數(shù)數(shù)列，如何獲得？-真隨機(jī)數(shù)：由隨機(jī)物理過(guò)程來(lái)產(chǎn)生，例