導數微分及其應用課件.ppt

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1、第二章導數微分及其應用10/5/20211大學數學基礎微積分的產生是數學上的偉大創(chuàng)造。它從生產技術和理論科學的需要中產生，又反過來廣泛影響著生產技術和科學的發(fā)展。????微積分是微分學和積分學的統稱，它的萌芽、發(fā)生與發(fā)展經歷了漫長的時期。早在古希臘時期，歐多克斯提出了窮竭法。這是微積分的先驅，而我國莊子的《天下篇》中也有“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”的極限思想，公元263年，劉徽為《九間算術》作注時提出了“割圓術”，用正多邊形來逼近圓周。這是極限論思想的成功運用。????積分概念是由求某些面積、體積和弧長引起的，古希臘數學家阿基米德在《拋物線求積法》中用究竭法求出拋物線弓形的面積，沒

2、有用極限，是“有限”開工的窮竭法。微積分的創(chuàng)始人是牛頓和萊布尼茨。解析幾何為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎。10/5/20212大學數學基礎第一節(jié)函數區(qū)間一、預備知識設a，b是兩個實數，且a

3、學基礎例：2的0.001鄰域為（1.999,2.001）2的0.001去心鄰域為(1.999,2)∪(2,2.001)10/5/20216大學數學基礎二、函數函數的概念10/5/20217大學數學基礎注函數的表示方法有三種:數學表達式、列表和圖形。10/5/20218大學數學基礎10/5/20219大學數學基礎2.復合函數設y是的z函數：y=f(z)，而z又是x的函數：z=g(x)。設D是g(x)的定義域或其一部分。如果對于x在D上取值時所對應的z值，函數y=f(z)是有定義的，將函數z=g(x)代入函數y=f(z)得y=f(g(x))Dg(D)F(g(D))這個函數叫做由函數y=f(z)

4、和z=g(x)復合而成的復合函數，記作f·g。變量z叫做中間變量。函數f的定義域gf10/5/202110大學數學基礎例1.210/5/202111大學數學基礎3.初等函數①基本初等函數10/5/202112大學數學基礎②初等函數由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數，稱為初等函數。10/5/202113大學數學基礎10/5/202114大學數學基礎第二節(jié)數列的極限無窮多個實數排成一列a1,a2,a3,…,an,…稱為數列，記為{an}，其中的每一個數稱為數列的一個項，an稱為數列的通項。1、數列的極限(1)、定義（1）3.1，3.14

5、，3.141，3.1415，3.14159，3.141592，3.1415926，…；（2）2，4，8，16，…，2n，…；（3）1/2，1/4，1/8，1/16，…，1/2n，…；（4）1，-1/2，1/3，-1/4，…，(-1)n+1/n，…；（5）1，1/2，2/3，3/4，…，(n-1)/n，…；10/5/202115大學數學基礎(2)、單調數列單調增加數列和單調減少數列統稱單調數列。(3)、有界數列對于數列{an}，如果存在正數M，使得數列中的每一項an(n=1,2,3,…)都滿足不等式-M

6、，如果有，則稱{an}為單調增加數列；10/5/202116大學數學基礎(4)、數列極限如果對于任意給定的正數ε，總存在著一個正整數N，使得對于n>N的一切an，有不等式

7、an－a

8、<ε稱數列an以有限數a為極限，常數a叫作數列{an}當n→∞時的極限。或者說數列{an}收斂到a，并記作如果數列沒有極限，稱數列是發(fā)散的。10/5/202117大學數學基礎證明10/5/202118大學數學基礎(5)定理若數列{an}收斂，那么{an}是有界數列。注：這個定理反映出處理有關“無限”問題的一個基本思想：就是將無限轉化為有限。10/5/202119大學數學基礎2、級數①、定義把用加號連起來的無窮多

9、個數稱為無窮級數(簡稱級數)。例10/5/202120大學數學基礎②、部分和及部分和數列設有級數級數的部分和為…10/5/202121大學數學基礎10/5/202122大學數學基礎例2.2證明所以因此10/5/202123大學數學基礎3、函數的極限①、當x→x0時函數f(x)極限如果對于任意給定的ε>0，總存在一個δ>0，當0<

10、x-x0

11、<δ時，有

12、f(x)-A

13、<ε,則稱當x→x0時函數f(x)以A為極限。注：定義中