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1、第三章離散傅立葉變換(DFT)3．1引言有限長(zhǎng)序列在數(shù)字信號(hào)處理是很重要的一種序列，當(dāng)然可以用Z變換和傅里葉變換來(lái)研究它，但是，可以導(dǎo)出反映它的"有限長(zhǎng)"特點(diǎn)的一種有用工具是離散傅里葉變換(DFT)。離散傅里葉變換除了作為有限長(zhǎng)序列的一種傅里葉表示法在理論上相當(dāng)重要之外，而且由于存在著計(jì)算離散傅里葉變換的有效快速算法，因而離散傅里葉變換在各種數(shù)字信號(hào)處理的算法中起著核心的作用。有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換(DFT)和周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)本質(zhì)上是一樣的。為了更好地理解DFT，需要先討論周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)DFS。而為了討論離散傅里葉級(jí)數(shù)及離散傅里葉變換，我們首先來(lái)回
2、顧并討論傅里葉變換的幾種可能形式。(連續(xù)時(shí)間信號(hào)：如果在討論的時(shí)間間隔內(nèi)，除若干不連續(xù)點(diǎn)之外，對(duì)于任意時(shí)間值都可給出確定的函數(shù)值，此信號(hào)就稱為連續(xù)時(shí)間信號(hào)。)一、連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率——連續(xù)傅立葉變換（FT）設(shè)x(t)為連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)，傅里葉變換關(guān)系如下圖所示：連續(xù)，非周期非周期，連續(xù)可以看出時(shí)域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，而時(shí)域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜。二、連續(xù)時(shí)間，離散頻率------傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)f(t)代表一個(gè)周期為T1的周期性連續(xù)時(shí)間函數(shù)，f(t)可展成傅里葉級(jí)數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為，f(t)和組成變換對(duì)，表示為:（）注意符號(hào)：如果是周期性的采樣脈沖信號(hào)p(t)，
3、周期用T表示（采樣間隔）。采樣脈沖信號(hào)的頻率為可以看出時(shí)域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，而時(shí)域的周期造成頻域是離散的譜連續(xù)，周期（時(shí)域周期為T1）非周期，離散（離散間隔為W1）三、離散時(shí)間，連續(xù)頻率------序列的傅里葉變換正變換：DTFT[x(n)]=反變換：DTFT-1級(jí)數(shù)收斂條件為
4、
5、=可以看出時(shí)域離散函數(shù)造成頻域是周期的譜，而時(shí)域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜離散，非周期（離散時(shí)間間隔為T）周期，連續(xù)（頻域周期為2p=WsT）四、離散時(shí)間，離散頻率------離散傅里葉變換上面討論的三種傅里葉變換對(duì)，都不適用在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算，因?yàn)橹辽僭谝粋€(gè)域(時(shí)域或頻域)中，函數(shù)是連續(xù)的。因
6、為從數(shù)字計(jì)算角度，我們感興趣的是時(shí)域及頻域都是離散的情況，這就是我們這里要談到的離散傅里葉變換。時(shí)域抽樣間隔T，頻域周期Ws=2p/T，時(shí)域周期T1，頻域抽樣間隔W1=2p/T1周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）設(shè)是周期為N的一個(gè)周期序列，即，r為任意整數(shù)。和連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)一樣，周期序列可用離散傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)表示。離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）對(duì)：正變換=DFS[]==反變換=IDFS[]==式中，，和均為整數(shù)。觀察=。是一個(gè)周期序列嗎？如是，周期為多少？=。所以。是一個(gè)周期序列，周期為N。，周期為N，周期也為N。觀察=，與連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中的傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)，表明將周期序列分解成N個(gè)
7、獨(dú)立諧波分量。第0次諧波序列，基波序列，…，第k次諧波序列，第N-1次諧波序列。諧波頻率，k=0，1，2，…，N-1，幅度為。例如：基波分量的頻率為2p/N，幅度是。一個(gè)周期序列可以用其DFS表示它的頻譜分布規(guī)律。例題：如圖所示，求的DFS解：=DFS[]========，
8、
9、如下圖所示。離散傅立葉變換（DFT）周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值才有意義，因而它的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示式也適用于有限長(zhǎng)序列，這就可以得到有限長(zhǎng)序列的傅里葉變換(DFT)。設(shè)x(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列，正變換=DFT[]==k=0，1，2，…，N-1（3.1.1）反變換=IDFT[]==n=0，1，2
10、，…，N-1（3.1.2）式中，N稱為DFT變換區(qū)間長(zhǎng)度，N≥M。例3．1．1：=R4(n)，求的8點(diǎn)和16點(diǎn)DFT。解：（1）DFT變換區(qū)間N=8，則：=====，k=0，1，…，7（2）DFT變換區(qū)間N=16，則：===，k=0，1，…，15DFS與DFT的關(guān)系1、有限長(zhǎng)序列和周期序列的關(guān)系設(shè)x(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列，以N（N≥M）為周期進(jìn)行周期延拓得。是x(n)的周期延拓。如下圖所示：M=4，N=8，以N=8進(jìn)行周期延拓。的周期為8。用式子表示：＝或＝x(n模N)＝x((n))N，(n模N)表示n對(duì)N取余數(shù)例：設(shè)是以N=8周期對(duì)有限長(zhǎng)序列x(n)（長(zhǎng)度M=4）進(jìn)行
11、周期延拓得到的。＝x(3)，=x(2)。有限長(zhǎng)序列進(jìn)行周期延拓得到周期序列。定義：周期序列中從n=0到N-1的第一個(gè)周期為的主值區(qū)間，而主值區(qū)間上的序列稱為的主值序列周期序列的主值序列是有限長(zhǎng)序列利用前面的矩形序列符號(hào)RN(n)RN(n)=1，0≤n≤N-10，其他nx(n)=RN(n)x(n)的周期延拓序列是；＝x((n))N的主值序列是x(n)；x(n)=RN(n)同理把頻域周期序列也看作是有限長(zhǎng)序列X(k)的周期延拓。X(k)是的主值序列X(k)的周期延拓序列是；＝X((k
