非線性回歸模型的線性化課件.ppt

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1、非線性回歸模型的線性化有時(shí)候變量之間的關(guān)系是非線性的。雖然其形式是非線性的，但可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，轉(zhuǎn)化為線性模型，然后利用線性回歸模型的估計(jì)與檢驗(yàn)方法進(jìn)行處理。稱此類模型為可線性化的非線性模型。對(duì)于那些不可線性化的非線性回歸模型，例如是無法用最小二乘法估計(jì)參數(shù)的?？刹捎梅蔷€性方法進(jìn)行估計(jì)。(1)冪函數(shù)模型(全對(duì)數(shù)模型)(b>1)(0b>-1)b取不同值的圖形分別見上圖。對(duì)上式等號(hào)兩側(cè)同取對(duì)數(shù)，得Lnyt=Lna+bLnxt+ut令yt*=Lnyt,a*=Lna,xt*=Lnxt,則上式表示為y

2、t*=a*+bxt*+ut變量yt*和xt*之間已成線性關(guān)系。冪函數(shù)模型也稱作全對(duì)數(shù)模型。全對(duì)數(shù)模型的特點(diǎn)是模型彈性系數(shù)b為常數(shù)。Lnyt=Lna+bLnxt+ut回歸系數(shù)b是被解釋變量與解釋變量的變化率的比，所以稱b為彈性系數(shù)。b用來測(cè)量當(dāng)變化1%時(shí)，變化百分之多少。邊際系數(shù)是Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)（二元冪函數(shù)）根據(jù)新古典增長(zhǎng)理論：，稱模型為規(guī)模報(bào)酬不變型；，稱模型為規(guī)模報(bào)酬遞增型；，稱模型為規(guī)模報(bào)酬遞減型。所以便于在不同變量之間比較相應(yīng)彈性系數(shù)的大小。對(duì)于線性模型，，?1和?2稱作邊際系數(shù)。線性模型中的回歸系數(shù)（邊際系

3、數(shù)）是對(duì)數(shù)線性回歸模型中彈性系數(shù)的一個(gè)分量。以?1為例應(yīng)用柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)模型評(píng)價(jià)臺(tái)灣省農(nóng)業(yè)生產(chǎn)效率。利用臺(tái)灣省1958-1972年農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值yt、勞動(dòng)力投入xt1、資本投入xt2的數(shù)據(jù)估計(jì)模型如下：此生產(chǎn)函數(shù)屬規(guī)模報(bào)酬遞增函數(shù)。當(dāng)勞動(dòng)力和資本投入都增加1%時(shí)，產(chǎn)出增加近2%。(2)指數(shù)函數(shù)模型(半對(duì)數(shù)模型)上式等號(hào)兩側(cè)同取自然對(duì)數(shù)，得Lnyt=Lna+bxt+ut令Lnyt=yt*,Lna=a*,則yt*=a*+bxt+ut變量yt*和xt已變換成為線性關(guān)系。其中ut表示隨機(jī)誤差項(xiàng)。半對(duì)數(shù)模型的彈性系數(shù)和邊際系數(shù)都不是常數(shù)

4、。Lnyt=Lna+bxt+ut彈性系數(shù)是邊際系數(shù)是回歸系數(shù)是近似等于單位時(shí)間內(nèi)的增長(zhǎng)率。半對(duì)數(shù)模型的一個(gè)重要應(yīng)用是估計(jì)經(jīng)濟(jì)變量的增長(zhǎng)率。把Lnyt=Lna+bxt+ut中的換成時(shí)間變量t。Lnyt=Lna+bt+utLnyt=Lna+bt+ut稱為增長(zhǎng)模型。中國(guó)稅收增長(zhǎng)的定量分析1990-2006年中國(guó)稅收（Tax，億元）數(shù)據(jù)見中國(guó)稅收增長(zhǎng)的定量分析.wf1因?yàn)榻忉屪兞渴菚r(shí)間t，所以回歸系數(shù)0.1589近似測(cè)量的是中國(guó)稅收的年增長(zhǎng)率，即1990-2006年中國(guó)稅收的年平均增長(zhǎng)率近似是15.89%。(3)對(duì)數(shù)函數(shù)模型yt=a+bLn

5、xt+ut,(b>0)yt=a+bLnxt+ut,(b<0)令xt*=Lnxt,則yt=a+bxt*+ut變量yt和xt*已變換成為線性關(guān)系。對(duì)數(shù)函數(shù)模型的彈性系數(shù)和邊際系數(shù)都不是常數(shù)。yt=a+bLnxt+ut彈性系數(shù)是邊際系數(shù)是28個(gè)省市自治區(qū)1985?2005年城鎮(zhèn)居民人均食品支出（food）與人均收入（income）的關(guān)系28個(gè)省市自治區(qū)1985?2005年城鎮(zhèn)居民人均食品支出（food）與人均收入（income）的關(guān)系用數(shù)據(jù)估計(jì)模型，得回歸結(jié)果如下：由上式，導(dǎo)函數(shù)是彈性函數(shù)。說明人均食品支出對(duì)人均收入的彈性系數(shù)是隨著城鎮(zhèn)人

6、均收入的增加而減少的。當(dāng)城鎮(zhèn)人均收入1000元水平時(shí)，人均收入增加1%，人均食品支出增加0.8986%；當(dāng)城鎮(zhèn)人均收入16000元水平時(shí)，人均食品支出對(duì)人均收入的彈性系數(shù)下降到0.6412%。城鎮(zhèn)人均食品支出對(duì)人均收入的彈性系數(shù)隨著人均收入的提高而遞減。(4)雙曲線函數(shù)模型1/yt=a+b/xt+ut令yt*=1/yt,xt*=1/xt，得yt*=a+bxt*+ut已變換為線性回歸模型。雙曲線函數(shù)還有另一種表達(dá)方式，yt=a+b/xt+ut令xt*=1/xt，得yt=a+bxt*+ut上式已變換成線性回歸模型。yt=a+b/xt+u

7、tb>01/yt=a+b/xt+utb>0雙曲線函數(shù)模型的彈性系數(shù)和邊際系數(shù)都不是常數(shù)。yt=a+b/xt+ut彈性系數(shù)是邊際系數(shù)是煉鋼廠鋼包容積Y與鋼包使用次數(shù)X的關(guān)系雙曲線線性化雙倒數(shù)線性化對(duì)數(shù)線性化(5)多項(xiàng)式函數(shù)模型(1)一種多項(xiàng)式方程的表達(dá)形式是yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut令xt1=xt，xt2=xt2，xt3=xt3，上式變?yōu)閥t=b0+b1xt1+b2xt2+b3xt3+ut這是一個(gè)三元線性回歸模型。如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的總成本與產(chǎn)品產(chǎn)量曲線與左圖相似。(b3>0)(b3<0)(5)多項(xiàng)式方程模型(2)(b

8、2>0)(b2<0)另一種多項(xiàng)式方程的表達(dá)形式是yt=b0+b1xt+b2xt2+ut令xt1=xt，xt2=xt2，上式線性化為，yt=b0+b1xt1+b2xt2+ut如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際成本曲線、平均成本曲線與左圖相似。廈門市貸款總