信號與系統(tǒng)第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析.ppt

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1、第二章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.1引言2.2微分方程的建立與求解2.3起始點的跳變2.4零輸入響應和零狀態(tài)響應2.5沖激響應與階躍響應2.6卷積2.7卷積的性質2.8用算子符號表示微分方程2.1引言系統(tǒng)在時域中數(shù)學模型的建立微分方程：輸入-輸出法——高階微分方程系統(tǒng)分析的任務是對給定的系統(tǒng)模型和輸入信號求系統(tǒng)的輸出響應系統(tǒng)分析的方法：時域分析方法頻域分析方法本章主要內容：系統(tǒng)時域分析法：1、微分方程的求解直接求解微分方程；零輸入響應和零狀態(tài)響應的概念和求解。2、根據(jù)單位沖激響應求系統(tǒng)的響應；卷積積分。3、算子符號表示法。2.2系統(tǒng)數(shù)學模型（微分方程）的建立例2-1圖

2、2-1所示為RLC并聯(lián)電路的，求并聯(lián)電路的端電壓v(t)與激勵源iS(t)間的關系iS(t)iRiCiLRLC+-v(t)電阻：電感：電容：例：輸入激勵是電流源iS(t),試列出電流iL(t)及R1上電壓u1(t)為輸出響應變量的方程式。例：如圖所示電路，試分別列出電流i1(t)、電流i2(t)和電壓uO(t)的數(shù)學模型。2.3用時域經典法求解微分方程設激勵信號為e(t)，系統(tǒng)響應為r(t)，則可以用一高階的微分方程表示復雜的系統(tǒng)。完全解由齊次解與特解組成。齊次解：齊次方程的解。齊次方程：齊次解的形式是形如的線性組合?！⒎址匠痰奶卣鞣匠烫卣鞣匠痰膎個根，，

3、…，稱為微分方程的特征根1、在特征根各不相同(無重根)的情況下，微分方程的齊次解：2、若特征方程有重根，為k階重根，則相應于的微分方程的齊次解將有k項，為：例2-3求解微分方程的齊次解。解：特征方程：特征根：齊次解：1、求微分方程的齊次解。2、求微分方程的齊次解。答案：答案：3、求微分方程的齊次解。答案：4、求微分方程的齊次解。答案：特解：特解的函數(shù)形式與激勵的函數(shù)形式有關。自由項：將激勵代入微分方程右端，化簡后的函數(shù)式注意：1、表中的B、D是待定系統(tǒng)。2、若自由項由幾種函數(shù)組合，則特解也為其相應的組合。3、若表中所列特解與齊次解重復，則應在特解中增加一項：t

4、倍乘表中特解。若這種重復形式有k次，則依次增加倍乘t，t2，…，tk諸項。例如：齊次解：激勵：特解：例2-4給定微分方程如果已知：(1)e(t)=t2；(2)e(t)=et，分別求兩種情況下此方程的特解。解：(1)將e(t)=t2代入方程右端，得自由項t2+2t特解rp(t)=B1t2+B2t+B3將特解代入原微分方程，得：等式兩端各對應冪次的系統(tǒng)相等，可得：特解為：(2)將e(t)=et代入方程右端，得自由項2et特解rp(t)=Bet將特解代入原微分方程，得：Bet+2Bet+3Bet=2Bet特解為：1、求微分方程的特解。2、求微分方程的特解。答案：答案：3

5、、求微分方程的特解。答案：完全解=齊次解+特解邊界條件：在(0+≤t≤∞)內任一時刻t0(通常為0+)時r(t)及其各階導數(shù)(最高為n-1階)的值。即由此可確定Ai，得到完全解。線性常系數(shù)微分方程的經典解法：1、通過特征方程寫出齊次解(含待定系數(shù))；2、通過自由項寫的特解，并代入原方程中確定特解的待定系數(shù)；3、完全解=齊次解(含待定系數(shù))+特解，根據(jù)邊界條件列方程組，求齊次解中的系數(shù)。特征方程的根稱為系統(tǒng)的“固有頻率”，決定齊次解的形式。齊次解——自由響應。特解——強迫響應2.4起始點的跳變——從0-到0+狀態(tài)的轉變系統(tǒng)加入激勵之前的狀態(tài)：——起始狀態(tài)(0-狀態(tài)

6、)系統(tǒng)加入激勵之后的狀態(tài)：——初始條件(0+狀態(tài)，導出的起始狀態(tài))對于一個具體的電網(wǎng)絡，系統(tǒng)的0-狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲能元件的儲能情況，即電容上的起始電壓和電感中的起始電流。當電路中沒有沖激電流(或階躍電壓)強迫作用于電容以及沒有沖激電壓(或階躍電流)強迫作用于電感，則換路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會發(fā)生突變。例2-6如圖所示RC一階電路，電路中無儲能，起始電壓和電流都為0，激勵信號e(t)=u(t)，求t>0系統(tǒng)的響應——電阻兩端電壓解：根據(jù)KVL和元件特性寫出微分方程當輸入端激勵信號發(fā)生跳變時，電容二端電壓保持連續(xù)值，仍等于0，而電阻兩端電壓將產生跳變，

7、即特征根：齊次解：特解：0代入起始條件：完全解：當系統(tǒng)已經用微分方程表示時，系統(tǒng)的0-狀態(tài)到0+狀態(tài)有沒有跳變決定于微分方程右端自由項是否包含及其各階導數(shù)。它的原理是根據(jù)t=0時刻微分方程左右兩端的及其各階導數(shù)應該平衡相等。解法二：用匹配法將代入得（2-1）為保持方程左右兩端各階奇異函數(shù)平衡，可以判斷，等式左端最高階項應包含，所以在0點發(fā)生跳變。將（2-1）兩端同時做積分得例2-7電路如圖，在激勵信號電流源的作用下，求電感支路電流。激勵信號接入之前系統(tǒng)中無儲能，各支路電流解：根據(jù)KCL和電路元件約束性得左端二階導數(shù)含有項，則一階導數(shù)在0點發(fā)生跳變，在0點沒有跳變