可降階的高階微分方程.doc

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1、可降階的高階微分方程解法①型的微分方程對(duì)兩邊積分，有，，……依次進(jìn)行次積分即得通解．②型的微分方程方程的特點(diǎn)是右端不顯含，令，則，于是原方程化為，是關(guān)于的一階方程，若其解為，即，積分求解即可．③型的微分方程方程的特點(diǎn)是右端不顯含自變量，令，則，于是原方程化為，是關(guān)于的一階方程，若其解為，即，再積分求解即可．例題1求下列各微分方程的通解（1）；　　（2）解（1）原方程屬于類型．令，則，原方程可化為，此為的一階線性方程，其通解為，所以　　　　　　　　　　，分離變量后得　　　　　　，兩邊積分，得原方程的通解為．（2）原方程為屬于類型．令，則，代

2、入原方程得，當(dāng)時(shí)，得，即為原方程的解；當(dāng)時(shí)，得　　　　　　　，分離變量　　　　　　　　　，兩邊積分　　　　　　　　，即　　　　　　　　　　　　，從而　　　　　　　　　　，分離變量，再兩邊積分后，得原方程通解為．練習(xí)練習(xí)1求方程的通解練習(xí)2求方程的通解。練習(xí)1解答：原方程為屬于類型，令代入原方程得：?????????????????????它相當(dāng)于兩個(gè)方程：?????????????????????由第一個(gè)方程解得：y=C;????????第二個(gè)方程可用分離變量法解得?????????????p=C1y????????從而?????????

3、?????????????由此再分離變量，解得：??????????????????????這就是原方程的通解（解y=C包含在這個(gè)解中）練習(xí)2解答：原方程屬于類型，令y'=p.，代入方程，得????????????????????分離變量后，得????????????????????積分，得????????????.即????????再積分，即得原方程的通解：????????????.