中學(xué)考試專題訓(xùn)練 阿氏圓.doc

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1、在前面的“胡不歸”問題中，我們見識(shí)了“kPA+PB”最值問題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說(shuō)的“阿氏圓”問題．所謂“阿氏圓”，是指由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯提出的圓的概念，在平面，到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比等于定值（不為1）的點(diǎn)的集合叫做圓．如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA:PB=k（k≠1），則滿足條件的所有的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形為圓．以下給出兩種證明法一：構(gòu)造角分線先復(fù)習(xí)兩個(gè)定理（1）角平分線定理：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，則AB:AC=DB:DC．證明：利用等積法，即AB:AC=DB:DC（2）外角平分線定理：如圖，在△ABC中，外角CAE

2、的角平分線AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則AB:AC=DB:DC．證明：在BA延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E使得AE=AC，連接BD，則△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，則DB:DE=AB:AE，即AB:AC=DB:DC．接下來(lái)開始證明：如圖，PA：PB=k，作∠APB的角平分線交AB于M點(diǎn)，根據(jù)角平分線定理，MA:MB=PA:PB=k，故M點(diǎn)為定點(diǎn)，即∠APB的角平分線交AB于定點(diǎn)；作∠APB外角平分線交直線AB于N點(diǎn)，根據(jù)外角平分線定理，NA:NB=PA:PB=k，故N點(diǎn)為定點(diǎn)，即∠APB外角平分線交直線AB于定點(diǎn)；又∠MPN=90°，定邊對(duì)定角，故P點(diǎn)軌跡是以MN為直徑

3、的圓．中考專題訓(xùn)練阿氏圓模型阿氏圓（阿波羅尼斯圓）：已知平面上兩定點(diǎn)A、B，則所有滿足的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓.在初中的題目中往往利用逆向思維構(gòu)造“斜A”型相似（也叫“母子型相似”）＋兩點(diǎn)間線段最短，解決帶系數(shù)兩線段之和的最值問題.觀察下面的圖形，當(dāng)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用PA、PB的長(zhǎng)在不斷的發(fā)生變化，但的比值卻始終保持不變.解決阿氏圓問題，首先要熟練掌握母子型相似三角形的性質(zhì)和構(gòu)造方法.那么如何應(yīng)用“阿氏圓”的性質(zhì)解答帶系數(shù)的兩條線段和的最小值呢？我們來(lái)看一道基本題目：例.已知∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半徑為2，P為

4、圓上一動(dòng)點(diǎn).（1）求的最小值為.???????????（2）求的最小值為.???????????阿氏圓基本解法：構(gòu)造相似阿氏圓一般解題步驟：AP+kBP第一步：連接動(dòng)點(diǎn)和圓心C（將系數(shù)不為1的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別與圓心相連接），即連接CP、CB；第二步：計(jì)算這兩條線段長(zhǎng)度的比；第三步：在CB（即定邊）上取點(diǎn)M，使得第四步：連接AM，與圓C交點(diǎn)即為點(diǎn)P；第五步：計(jì)算AM的長(zhǎng)度，即為AP+kBP的最小值.實(shí)戰(zhàn)演練：1.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)D為△ABC一動(dòng)點(diǎn)，且滿足CD=2，則的最小值為.2.已知點(diǎn)A（4，0），B（4，4），點(diǎn)P在半徑為2的⊙O上運(yùn)動(dòng)，則

5、的最小值是.3.已知點(diǎn)A(-3，0)，B（0，3），C（1，0），若點(diǎn)P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，且⊙C與y軸相切.（1）求的最小值；（2）求△ABP面積的最小值.4.在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0），B（0，2），C（4，0），D（3，2），P是△AOB外部的第一象限一動(dòng)點(diǎn)，且∠BPA=135°，則2PD+PC的最小值是__________.5.已知⊙O半徑為1，AC、BD為切線，AC=1，BD=2，P為弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，?試求的最小值.鞏固練習(xí)：1.如圖，在△ABC中，∠B﹦90°，AB﹦CB﹦2，以點(diǎn)B為圓心作⊙B與AC相切，點(diǎn)P為圓B上任一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是??????????．2.如

6、圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC=60°，⊙A與BC相切于點(diǎn)E，在⊙A上任取一點(diǎn)P，求的最小值.3.（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，⊙B的半徑為2，點(diǎn)P是⊙B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD+PC的最小值；（2）如圖2，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，⊙B的半徑為6，點(diǎn)P是⊙B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么PD+PC的最小值為；（3）如圖3，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠B=60°，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么PD+PC的最小值為.4.如圖1，拋物線y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(4，0)，與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E(m，0)(0

7、E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M.（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)△PMN的周長(zhǎng)為C1，△AEN的周長(zhǎng)為C2，若，求m的值；（3）如圖2，在(2)條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<90°)，連接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值.問題提出：如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,C半徑為2,P為圓上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AP、BP,求AP+1/2BP的最小值。(