灰色預(yù)測模型GM.doc

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1、數(shù)學建模講稿--灰色預(yù)測模型GM（1,1）華北電力大學科技學院數(shù)學教研室張文彬灰色預(yù)測模型GM(1,1)§1預(yù)備知識灰色預(yù)測是就灰色系統(tǒng)所做的預(yù)測。所謂灰色系統(tǒng)是介于白色系統(tǒng)和黑箱系統(tǒng)之間的過渡系統(tǒng)，其具體的含義是：如果某一系統(tǒng)的全部信息已知為白色系統(tǒng)，全部信息未知為黑箱系統(tǒng)，部分信息已知，部分信息未知，那么這一系統(tǒng)就是灰箱系統(tǒng)。一般地說，社會系統(tǒng)、經(jīng)濟系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)都是灰色系統(tǒng)。例如物價系統(tǒng)，導致物價上漲的因素很多，但已知的卻不多，因此對物價這一灰色系統(tǒng)的預(yù)測可以用灰色預(yù)測方法。灰色系統(tǒng)理論認為對既含有已知信息又含有未知或非確定信息的系統(tǒng)進行預(yù)測，就是對在一定方位內(nèi)變化的、與

2、時間有關(guān)的灰色過程的預(yù)測。盡管過程中所顯示的現(xiàn)象是隨機的、雜亂無章的，但畢竟是有序的、有界的，因此這一數(shù)據(jù)集合具備潛在的規(guī)律，灰色預(yù)測就是利用這種規(guī)律建立灰色模型對灰色系統(tǒng)進行預(yù)測。平面上有數(shù)據(jù)序列，大致分布在一條直線上。yx設(shè)回歸直線為：，要使所有點到直線的距離之和最?。ㄗ钚《耍?，即使誤差平方和最小。J是關(guān)于a,b的二元函數(shù)。由則得使J取極小的必要條件為：（*）(1)以上是我們熟悉的最小二乘計算過程。下面提一種觀點，上述算法，本質(zhì)上是用實際觀測數(shù)據(jù)、去表示a與b，使得誤差平方和J取最小值，即從近似方程中形式上解出a與b。把上式寫成矩陣方程。2–12數(shù)學建模講稿--灰色預(yù)測模

3、型GM（1,1）華北電力大學科技學院數(shù)學教研室張文彬令，令，則左乘得注意到BTB是二階方陣，且其行列式不為零，故其逆陣(BTB)-1存在，所以上式左乘得（2）可以具體驗算按最小二乘法求得的結(jié)果（1）與（2）式完全相同，下面把兩種算法統(tǒng)一一下：由最小二乘得結(jié)果：方程（*）方程組改寫為：令：，，（*）化為所以以后，只要數(shù)據(jù)列大致成直線，既有近似表達式2–12數(shù)學建模講稿--灰色預(yù)測模型GM（1,1）華北電力大學科技學院數(shù)學教研室張文彬當令：，，則有（2）（2）式就是最小二乘結(jié)果，即按最小二乘法求出的回歸直線的回歸系數(shù)a與b。推廣：多元線性回歸設(shè)有m個變量，每個自變量有n個值，因變量

4、y有n個值（1）如n個人，每人有m個指標。女生：人：（體重）公斤（胸圍）厘米（呼吸差）厘米（肺活量）毫升1=35=69=0.716002=40=74=2.526003=40=64=2.021004=42=74=326505=37=72=10124006=45=68=10522007=43=78=40327508=37=66=216009=44=70=302275010=42=65=32500方程組（1）是n個方程m個數(shù)據(jù)用X表示增廣矩陣：n行，m+1列，，2–12數(shù)學建模講稿--灰色預(yù)測模型GM（1,1）華北電力大學科技學院數(shù)學教研室張文彬其中為階矩陣。由此可解出：注意：方程組

5、中不知，意思是：如果線性關(guān)系成立當為多少時，到的距離之和為最小?；蛘f，當所有到()距離之和為最小時的就是我們要求的最佳系數(shù)?！?前言為什么要講GM(1,1)模型？80年代初，華中理工大學鄧聚龍教授提出了灰色系統(tǒng)理論，先后發(fā)表過灰色控制、灰色預(yù)測、灰色決策、灰色系統(tǒng)理論等多部專著，較詳細在闡述了灰色系統(tǒng)理論的產(chǎn)生、理論、方法與應(yīng)用。在80年代中后期到90年代初，舉行了十數(shù)次國際、國內(nèi)有關(guān)灰色系統(tǒng)理論的研討會，在全國形成一股灰色系統(tǒng)理論研究與應(yīng)用熱潮。鄧聚龍先生因灰色系統(tǒng)理論方面的供獻，獲得國家科技進步一等獎。~什么叫灰？用鄧先生自己的話來講：“完全已知的系統(tǒng)稱作白系統(tǒng)；完全未知的

6、系統(tǒng)稱作黑系統(tǒng)或黑箱；部分已知、部分未知的系統(tǒng)稱作灰色系統(tǒng)?！痹诖?，已知或未知到什么程度沒有具體說明。所以，“灰”的內(nèi)涵不是很清楚。舉個例子講，已知某量的真值x在閉區(qū)間[a,b]上，不可能落在[a,b]之外，但具體落到區(qū)間[a,b]的什么位置則是完全不知道的。那么，這個量稱作灰量，可具體表示為[a,b]，稱其為區(qū)間灰數(shù)。顯然，區(qū)間灰數(shù)是客觀實際中存在的，除了知道真值x在[a,b]上，而不在[a,b]之外，不再有任何已知信息，這就是灰量的最基本原型。由于灰色系統(tǒng)理論從一開始就沒有建立在嚴格的集合論基礎(chǔ)之上，使之缺乏必要的數(shù)學支撐，這大大限制了灰色系統(tǒng)理論和應(yīng)用的發(fā)展。雖然灰色系統(tǒng)

7、理論在控制、預(yù)測、決策等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用；但就其精華而言，還在于GM(1,1)模型。即便是現(xiàn)在，在特定情況下，GM(1,1)還有用，還在被應(yīng)用，并且預(yù)測效果很好。其使用限制條件是：原始數(shù)據(jù)單調(diào)，預(yù)測背景呈現(xiàn)穩(wěn)定發(fā)展趨勢；其優(yōu)勢是：適用于原始觀測數(shù)據(jù)較少的預(yù)測問題，由于數(shù)據(jù)量很小，無法應(yīng)用概率統(tǒng)計方法尋找統(tǒng)計規(guī)律，而GM(1,1)模型恰恰彌補了這個空白，由于GM(1,1)算法簡單易行，預(yù)測精度相對較高，所以在一些特定問題中，GM(1,1)仍然是決策者樂于選擇的預(yù)測模型。上面講到的背景穩(wěn)定的發(fā)