灰色預(yù)測模型gm

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1、-灰色預(yù)測模型GM(1,1)§1預(yù)備知識(shí)平面上有數(shù)據(jù)序列，大致分布在一條直線上。yx設(shè)回歸直線為：，要使所有點(diǎn)到直線的距離之和最小（最小二乘），即使誤差平方和最小。J是關(guān)于a,b的二元函數(shù)。由則得使J取極小的必要條件為：（*）(1)以上是我們熟悉的最小二乘計(jì)算過程。下面提一種觀點(diǎn)，上述算法，本質(zhì)上是用實(shí)際觀測數(shù)據(jù)、去表示a與b，使得誤差平方和J取最小值，即從近似方程中形式上解出a與b。把上式寫成矩陣方程。令，.---令，則左乘得注意到BTB是二階方陣，且其行列式不為零，故其逆陣(BTB)-1存在，所以上式左乘得（2）可以具體驗(yàn)算按最小二乘法求得的結(jié)果（1）與（2）式完全相同，下面把兩種算法統(tǒng)一

2、一下：由最小二乘得結(jié)果：方程（*）方程組改寫為：令：，，（*）化為所以以后，只要數(shù)據(jù)列大致成直線，既有近似表達(dá)式當(dāng)令：，，則有（2）.---（2）式就是最小二乘結(jié)果，即按最小二乘法求出的回歸直線的回歸系數(shù)a與b。推廣：多元線性回歸設(shè)有m個(gè)變量，每個(gè)自變量有n個(gè)值，因變量y有n個(gè)值（1）如n個(gè)人，每人有m個(gè)指標(biāo)。女生：人：（體重）公斤（胸圍）厘米（呼吸差）厘米（肺活量）毫升1=35=69=0.716002=40=74=2.526003=40=64=2.021004=42=74=326505=37=72=10124006=45=68=10522007=43=78=40327508=37=66=21

3、6009=44=70=302275010=42=65=32500方程組（1）是n個(gè)方程m個(gè)數(shù)據(jù)用X表示增廣矩陣：n行，m+1列，，其中為階矩陣。由此可解出：注意：方程組中不知，意思是：如果線性關(guān)系成立.---當(dāng)為多少時(shí)，到的距離之和為最小?；蛘f，當(dāng)所有到()距離之和為最小時(shí)的就是我們要求的最佳系數(shù)?！?GM模型前言為什么要講GM(1,1)模型？80年代初，華中理工大學(xué)鄧聚龍教授提出了灰色系統(tǒng)理論，先后發(fā)表過灰色控制、灰色預(yù)測、灰色決策、灰色系統(tǒng)理論等多部專著，較詳細(xì)在闡述了灰色系統(tǒng)理論的產(chǎn)生、理論、方法與應(yīng)用。在80年代中后期到90年代初，舉行了十?dāng)?shù)次國際、國內(nèi)有關(guān)灰色系統(tǒng)理論的研討會(huì)，在全國

4、形成一股灰色系統(tǒng)理論研究與應(yīng)用熱潮。鄧聚龍先生因灰色系統(tǒng)理論方面的供獻(xiàn)，獲得國家科技進(jìn)步一等獎(jiǎng)。~什么叫灰？用鄧先生自己的話來講：“完全已知的系統(tǒng)稱作白系統(tǒng)；完全未知的系統(tǒng)稱作黑系統(tǒng)或黑箱；部分已知、部分未知的系統(tǒng)稱作灰色系統(tǒng)?！痹诖?，已知或未知到什么程度沒有具體說明。所以，“灰”的內(nèi)涵不是很清楚。舉個(gè)例子講，已知某量的真值x在閉區(qū)間[a,b]上，不可能落在[a,b]之外，但具體落到區(qū)間[a,b]的什么位置則是完全不知道的。那么，這個(gè)量稱作灰量，可具體表示為[a,b]，稱其為區(qū)間灰數(shù)。顯然，區(qū)間灰數(shù)是客觀實(shí)際中存在的，除了知道真值x在[a,b]上，而不在[a,b]之外，不再有任何已知信息，這就

5、是灰量的最基本原型。由于灰色系統(tǒng)理論從一開始就沒有建立在嚴(yán)格的集合論基礎(chǔ)之上，使之缺乏必要的數(shù)學(xué)支撐，這大大限制了灰色系統(tǒng)理論和應(yīng)用的發(fā)展。雖然灰色系統(tǒng)理論在控制、預(yù)測、決策等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用；但就其精華而言，還在于GM(1,1)模型。即便是現(xiàn)在，在特定情況下，GM(1,1)還有用，還在被應(yīng)用，并且預(yù)測效果很好。其使用限制條件是：原始數(shù)據(jù)單調(diào)，預(yù)測背景呈現(xiàn)穩(wěn)定發(fā)展趨勢；其優(yōu)勢是：適用于原始觀測數(shù)據(jù)較少的預(yù)測問題，由于數(shù)據(jù)量很小，無法應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)方法尋找統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而GM(1,1)模型恰恰彌補(bǔ)了這個(gè)空白，由于GM(1,1)算法簡單易行，預(yù)測精度相對較高，所以在一些特定問題中，GM(1,1)仍然是

6、決策者樂于選擇的預(yù)測模型。上面講到的背景穩(wěn)定的發(fā)展趨勢是指下述情況：如化工設(shè)備的腐蝕量，隨著使用時(shí)間的推移腐蝕不斷增加，呈現(xiàn)出穩(wěn)定的發(fā)展趨勢，并且腐蝕量的測量通常比較困難(如停產(chǎn)才能測量)，所以實(shí)際觀測數(shù)據(jù)較少。這類問題很適合GM(1,1)模型預(yù)測?！?GM(1,1)預(yù)備知識(shí)3.1回憶一階線性常系數(shù)微分方程(1)其解為：(2)其中a，u為給定的常數(shù)。.---一階線性常系數(shù)微分方程(1)的解(2)是指數(shù)型曲線，如下圖所示x(0)0txa<0a>0x(0)–u/a0txa<0a>010txa<0a>0圖象圖象圖象3.2在預(yù)備知識(shí)中，講述了最小二乘法：若數(shù)據(jù)點(diǎn)近似落在一條直線上，設(shè)這條直線為y＝ax

7、+b，a,b為參數(shù)。理想的直線要求：每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，到該直線的距離平方和最小――即最小二乘。用最小二乘法求出參數(shù)a與b，這相當(dāng)于形式上的解線性方程組：(3)當(dāng)令，，則（3）化為，（4）由此求出，可得回歸直線（5）上述形式上的求解結(jié)果，本質(zhì)上是用最小二乘法求解回歸參數(shù)的過程，故有下面結(jié)論。結(jié)論：一組數(shù)據(jù)點(diǎn)（n個(gè)），且近似線性關(guān)系則下述表達(dá)式可求出回歸系數(shù)a與b。.---上述形式上的計(jì)算，本質(zhì)是使點(diǎn)到直線