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《積分方程一般概念與弗雷德霍姆方程.doc》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第十五章積分方程積分方程論是泛函分析的一個(gè)重要分支，它是研究數(shù)學(xué)其他學(xué)科（例如偏微分方程邊值問題）和各種物理問題的一個(gè)重要數(shù)學(xué)工具。本章敘述線性積分方程，重點(diǎn)介紹弗雷德霍姆積分方程的性質(zhì)和解法；并簡略地介紹了沃爾泰拉積分方程以及一些奇異積分方程；此外，還扼要地?cái)⑹龇e分方程的逐次逼近法和預(yù)解核，并舉例說明近似解法；最后考察了一個(gè)非線性積分方程。§1積分方程一般概念與弗雷德霍姆方程一.積分方程一般概念1.積分方程的定義與分類[線形積分方程]在積分號下包含未知函數(shù)y(x)的方程(1)稱為積分方程。式中
2、α(x),F(x)和K(x,ξ)是已知函數(shù)，λ,a,b是常數(shù)，變量x和ξ可取區(qū)間(a,b)內(nèi)的一切值；K(x,ξ)稱為積分方程的核，F(xiàn)(x)稱為自由項(xiàng)，λ稱為方程的參數(shù)。如果K(x,ξ)關(guān)于x,ξ是對稱函數(shù)，就稱方程(1)是具有對稱核的積分方程；如果方程中的未知函數(shù)是一次的，就稱為線性積分方程，方程(1)就是線性積分方程的一般形式；如果F(x)≡0，就稱方程(1)為齊次積分方程，否則稱為非齊次積分方程。[一維弗雷德霍姆積分方程（Fr方程）]第一類Fr方程第二類Fr方程第三類Fr方程[n維弗雷德霍
3、姆積分方程]稱為n維弗雷德霍姆積分方程，式中D是n維空間中的區(qū)域，P,P1?D，它們的坐標(biāo)分別是(x1,x2,L,xn)和,a(P)=a(x1,x2,L,xn),F(P)=F(x1,x2,Lxn)和K(P,P1)=K(x1,x2,L,xn,是已知函數(shù)，f(P)是未知函數(shù)。關(guān)于Fr方程的解法，一維和n(>1)維的情況完全類似，因此在以后的討論中僅著重考慮一維Fr方程。[沃爾泰拉積分方程]如果積分上限b改成變動(dòng)上限，上面三類Fr方程分別稱為第一、第二、第三類沃爾泰拉積分方程。由于第三類Fr方程當(dāng)a(
4、x)在(a,b)內(nèi)是正函數(shù)時(shí)，可以化成13/13它是含有未知函數(shù)以為積分方程的核的第二類Fr方程。所以本章重點(diǎn)研究一維第二類Fr方程。2.積分方程與微分方程之間的關(guān)系某些積分方程可化為微分方程，也可從微分方程推導(dǎo)出積分方程。先來考慮二階線性微分方程的初值問題：（2）若從方程(2)中解出，然后在區(qū)間(a,x)上對x求積分兩次，利用初始條件，經(jīng)過簡單的計(jì)算不難得出*在計(jì)算過程中應(yīng)用了公式（n≥2）當(dāng)時(shí)成立。，令和上式就可寫為如下的形式:(3)這是一個(gè)第二類沃爾泰拉方程，核K是x的線性函數(shù)。例1初值問
5、題(4)變?yōu)榉e分方程(5)反之，應(yīng)用積分號下求導(dǎo)法則，微分兩次就可把積分方程(3)化為微分方程(2)。在(3)及其第一次求導(dǎo)的結(jié)果中令x=a,就得給定初始條件。在例1中，對(5)式求導(dǎo)，得出(6)再求導(dǎo)一次得出原微分方程(4)，并從方程(6)和(5)給出初始條件y(0)=1,對于邊值問題，方法類似，先考慮一個(gè)簡單的例子。例2從問題13/13出發(fā)，積分兩次，導(dǎo)出關(guān)系式從此立刻可知條件y(0)=0成立。從第二端點(diǎn)條件y(a)=0決定C：所以有關(guān)系式(7)令則方程(7)變?yōu)?8)這是第二類Fr方程。要
6、從這個(gè)積分方程回到微分方程，只需對方程(8)求導(dǎo)兩次，就得到在積分方程(7)中，令x=0和x=a,可以直接推出邊值條件y(0)=y(a)=0。注意：在這個(gè)例中，1°在x=ξ處不連續(xù)，并當(dāng)x增加而過ξ時(shí)有一跳躍-1。2°K是x的一個(gè)線性函數(shù)，即滿足，且K在端點(diǎn)x=0,x=a處等于零。3°K(x,ξ)=K(ξ,x),即核是對稱的。如果利用類似的方法，對更一般的具有齊次端點(diǎn)條件的二階齊次方程的邊值問題：則除A=0外，可得在x=ξ不連續(xù)的一個(gè)核。二、格林函數(shù)及其物理意義[格林函數(shù)]在區(qū)間[a,b]上，考
7、慮微分方程Ly+Φ(x)=0的邊值問題，式中L是微分算子：齊次邊界條件為在端點(diǎn)x=a,x=b處，滿足，其中α,β為常數(shù)。為了得出這個(gè)問題解的形式，首先構(gòu)造函數(shù)G,使對一給定數(shù)ξ，13/13并且滿足條件：(i)函數(shù)G1和G2在它們的定義區(qū)間上滿足LG=0,即當(dāng)x<ξ時(shí),LG1=0。當(dāng)x>ξ時(shí)，LG2=0。(ii)函數(shù)G滿足邊界條件，即G1滿足在x=a的邊界條件，G2滿足在x=b的邊界條件。(iii)函數(shù)G在x=ξ連續(xù)，即G1(ξ)=G2(ξ)。(iv)G的導(dǎo)數(shù)以x=ξ為一不連續(xù)點(diǎn)，其跳躍是，即可以
8、證明，若以ξ為參數(shù)的這個(gè)函數(shù)G存在，則原問題的解有如下的形式：(2)例如G(x,ξ)可取(3)式中A是由關(guān)系式?jīng)Q定的一個(gè)常數(shù)，u(x)是Ly=0滿足在x=a處所給定的齊次邊值條件的一個(gè)解，v(x)是在x=b處滿足邊值條件的一個(gè)解。則G(x,ξ)顯然滿足條件(i)~(iv)。此外，還可證明，對由(3)定義的G(x,x),由關(guān)系式(2)確定的函數(shù)y滿足微分方程(1)并且滿足u(x)在x=a與v(x)在x=b所規(guī)定的相同的齊次邊界條件。滿足條件（i）~(iv)或由(3)式所定義的函數(shù)稱為與微分表達(dá)式L
