2010部分市中考幾何壓軸題.doc

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1、2010部分省市中考幾何壓軸題例1．（2010浙江嘉興）如圖，已知⊙O的半徑為1，PQ是⊙O的直徑，n個相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都關于PQ對稱，其中第一個的頂點與點P重合，第二個的頂點是與PQ的交點，…，最后一個的頂點、在圓上．（第23題）（第23題圖1）（第23題圖2）（第1題圖1）（1）如圖1，當時，求正三角形的邊長；（2）如圖2，當時，求正三角形的邊長；（3）如題圖，求正三角形的邊長（用含n的代數式表示）．（1）設與交于點D，連結，則，在中，，即，解得．（2）設與交于點E，連結

2、，則，在中，即，解得．（3）設與交于點F，連結，則，在中，即，解得．2．（2010四川南充）如圖，△ABC內接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE＝BC．（1）求∠BAC的度數．（2）將△ACD沿AC折疊為△ACF，將△ABD沿AB折疊為△ABG，延長FC和GB相交于點H．求證：四邊形AFHG是正方形．（3）若BD＝6，CD＝4，求AD的長．AFCDEGHBO【答案】（1）解：連結OB和OC．∵　OE⊥BC，∴　BE＝CE．∵　OE＝BC，∴　∠BOC＝90°，∴　∠BAC＝45°．　（2）證明：∵　

3、AD⊥BC，∴　∠ADB＝∠ADC＝90°．由折疊可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，∴　∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°．∴　∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．∴　四邊形AFHG是正方形．　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4．設AD的長為x，則　BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4．在Rt△BCH中，BH2

4、＋CH2＝BC2，∴?。▁－6）2＋（x－4）2＝102．解得，x1=12，x2＝－2（不合題意，舍去）．∴　AD＝12．　　　　　　　　　　　　　例3．（2010湖北荊門）如圖，圓O的直徑為5，在圓O上位于直徑AB的異側有定點C和動點P，已知BC：CA=4：3，點P在半圓弧AB上運動（不與A、B兩點重合），過點C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點．（1）求證：AC·CD=PC·BC；（2）當點P運動到AB弧中點時，求CD的長；（3）當點P運動到什么位置時，△PCD的面積最大？并求出這個最大面積S。

5、【答案】（1）由題意，AB是⊙O的直徑；∴∠ACB=90。，∵CD⊥CP，∴∠PCD=90?！唷螦CP+∠BCD=∠PCB+∠DCB=90。，∴∠ACP=∠DCB，又∵∠CBP=∠D+∠DCB，∠CBP=∠ABP+∠ABC，∴∠ABC=∠APC，∴∠APC＝∠D，∴△PCA∽△DCB；∴，∴AC·CD=PC·BC（2）當P運動到AB弧的中點時,連接AP，∵AB是⊙O的直徑，∴∠APB=90。，又∵P是弧AB的中點，∴弧PA=弧PB，∴AP=BP，∴∠PAB=∠PBA=45.,又AB=5，∴PA=，過A

6、作AM⊥CP，垂足為M，在Rt△AMC中，∠ACM=45，∴∠CAM=45，∴AM=CM=，在Rt△AMP中，AM2+AP2=PM2，∴PM=，∴PC=PM+=。由（1）知：AC·CD=PC·BC，3×CD=PC×4，∴CD＝（3）由（1）知：AC·CD=PC·BC，所以AC：BC=CP：CD；所以CP：CD=3：4，而△PCD的面積等于·=，CP是圓O的弦，當CP最長時，△PCD的面積最大，而此時CP就是圓O的直徑；所以CP=5，∴3：4=5：CD；∴CD=，△PCD的面積等于·==；例4．（201

7、0四川成都）已知：如圖，內接于⊙O，為直徑，弦于，是AD的中點，連結并延長交的延長線于點，連結，分別交、于點、．（1）求證：是的外心；（2）若,求的長；（3）求證：．⌒⌒（1）證明：∵C是AD的中點，∴AC=CD，∴∠CAD=∠ABC⌒∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°?！唷螩AD+∠AQC=90°又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°∴∠AQC=∠PCQ∴在△PCQ中，PC=PQ，∵CE⊥直徑AB，∴AC=AE⌒⌒∴AE=CD∴∠CAD=∠ACE?！嘣凇鰽PC中，有PA=PC，∴PA=PC=

8、PQ∴P是△ACQ的外心。（2）解：∵CE⊥直徑AB于F，∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=，CF=8，得。∴由勾股定理，得∵AB是⊙O的直徑，∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=，得。易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴∴。（3）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°∴∠DAB+∠ABD=90°又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°∴∠DAB=∠G；∴Rt△AFP∽Rt△GFB，∴，即易知Rt△ACF∽Rt△CBF，∴∴由（1），知PC=PQ