資源描述：
《數理方程復習課件.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、數學物理方程數學角度微分積分方程偏微分方程積分方程波動方程(雙曲型偏微分方程)恒定場方程(橢圓型偏微分方程)輸運方程(拋物型偏微分方程)定解問題：邊界條件和初始條件反映了具體問題的特定環(huán)境和歷史，也即個性。在數學上，邊界條件和初始條件合稱為定解條件。把在給定的定解條件下求解數學物理方程稱為數學物理定解問題或簡稱為定解問題。三類基本方程在直角坐標系中的表示一、波動方程二、熱傳導方程三、拉普拉斯方程定解問題的適定性：解的存在性、解的唯一性和解的穩(wěn)定性；若一個定解問題存在唯一且穩(wěn)定的解，則此問題稱為適定的。定解問題＝泛定方程+定解條件邊界條件確定本征值和本征函數要求掌握三類邊界
2、條件的常見例子（見第一章課件，如邊界吸熱，放熱，絕熱，邊界不受外力，自由冷卻等）以及初始條件的表述方法。初始條件確定級數疊加系數1、線性二階偏微分方程的一般形式該方程為齊次的該方程為非齊次的數學物理方程的分類方程為雙曲型方程為拋物型方程為橢圓型行波法一、行波法主要用來求解無界區(qū)域內波動方程的定解問題——達朗貝爾公式對無限長的弦的自由振動、無限長桿的自由縱振動、無限長理想傳輸線上電流和電壓變化而言，任意擾動總是以行波的形式分為兩個方向傳播出去，波速為，也即:以速度沿負方向移動的行波以速度沿正方向移動的行波通解的物理意義：三維達朗貝爾公式物理意義：（1）空間任一點M在任意時刻
3、t>0的狀態(tài)完全由以該點為心，at為半徑的球面上初始狀態(tài)決定；（2）三維空間的局部有界域內的初始擾動導致空間各點在有限時段受擾，無持續(xù)后效；（3）三維空間局部初始擾動的傳播有清晰的波前與波后。二、一般的二階齊次線性偏微分方程特征線的求法：其特征方程為：其特征方程的解即為特征線方程：如雙曲型方程過其中每一點有兩條不同的實的特征線橢圓型方程過其中每一點不存在實的特征線拋物型方程過其中每一點有一條實的特征線三、傅里葉級數傅里葉變換式傅里葉逆變換式復數形式的傅里葉變換基本思想：通過分離變量，把偏微分方程分解成幾個常微分方程，其中的常微分方程帶有附加條件而構成本征值問題。分離變量(
4、傅立葉級數)法要求能熟練應用分離變量法求解波動方程，熱傳導方程，拉普拉斯方程（矩形區(qū)域和圓形區(qū)域）的定解問題。解題步驟:邊界是否齊次寫出本征值、本征函數、待求物理量的傅立葉級數展開式邊界齊次化寫出定解問題方程非齊次項和初值條件的級數展開代入原泛定方程得到另一變量的微分方程和初值寫出解的表達式和系數邊界齊次化（考點）邊界條件（四種）：波動方程：熱傳導方程：拉普拉斯方程：1、矩形區(qū)域：2、圓域（圓盤、圓環(huán)區(qū)域）（重點）：若研究區(qū)域包括圓心，必須考慮該自然邊界條件。滿足有界性條件的通解為：在求疊加系數時，要善于利用初始條件，注意比對等號兩邊的系數，達到化簡疊加系數的目的.求解非
5、齊次方程—特征函數法將V（x,t）按W（x,t）的本征函數進行展開，如：令：若表達式與x無關或可以寫成關于x的正余弦形式，不用展開，否則，也需要按W的本征函數展開。將展開式代入原方程，注意等號兩邊的比對，代入初始條件，化簡疊加系數。具體內容參見課件中相關例題。本部分重點復習第三章課件中倒數第二個例題。格林函數主要掌握使用格林函數求解三維拉普拉斯方程1、熟記第一格林公式和第二格林公式----第一格林公式----第二格林公式2拉普拉斯方程的鈕曼問題有解的必要條件3拉普拉斯方程解的唯一性問題結論狄利克雷問題在原定解問題中的解是唯一確定的；鈕曼問題的解在相差一個常數下也是唯一確定
6、的.4、三維拉普拉斯方程的基本解.或（2）、二維拉普拉斯方程的基本解.使用鏡像法求上半空間內的格林函數在狄利克雷問題中為上半空間的格林函數.球域內的格林函數：具體內容參見課件上相關例題。貝塞爾函數在討論圓盤區(qū)域內瞬時溫度分布問題中遇到的n階貝塞爾方程做代換,n階貝塞爾方程的標準形式.熟記！熟記！貝塞爾函數的級數解法n階貝塞爾方程的一個特解熟記！或當n不為整數時,和線性無關．n階貝塞爾方程的通解為另兩個特解當n為整數時，有：當n為整數時,與 線性相關n階貝塞爾方程通解只可寫為貝塞爾函數的性質：1有界性n為偶數時，為偶函數n為奇數時，為奇函數性質2奇偶性性質3遞推性（大題考點
7、）具體內容參見課件上相關例題貝塞爾方程的本征值為與本征值對應的本征函數為：稱為貝塞爾函數的模。傅立葉-貝塞爾級數往年考題定解問題的適定性指的是___________________________。1．定解問題中的定解條件包含________________________，2.邊值問題的固有值為_______，_________，n=_____________。固有函數為先求出對應的齊次方程滿足齊次邊界條件的固有函數系，為_________，再設u(x,t)=______________________，將自由項按此函數系展
