數(shù)理方程-期末復(fù)習(xí)

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1、?sinmm???=0,1,2,?l?mm1.將下列函數(shù)展開(kāi)為球函數(shù)YP()()θ?,c=osθ????的ll??cosml??=0,1,2,3,??形式。(1)sinθ()sinθθ?+cossin(2)sinsinθ?(3)()6cosθ+1sincosθ??sinmm???=0,1,2,?l?mm2.將下列函數(shù)展開(kāi)為球函數(shù)YP()()θ?,c=osθ????的ll??cosml??=0,1,2,3,??形式。(1)3sin2sin()θ??cos2sin2θ??+cos2cos2θ?sin2?+cos2??1(2)s

2、incosθ?(3)()13cos+θsincosθ?3.如圖所示，長(zhǎng)為l的弦，兩端固定，弦中張力為T，在弦的中間點(diǎn)以橫向力F0把弦拉開(kāi)，然后突然撤除這力，求解弦的振動(dòng)。4.求解細(xì)桿導(dǎo)熱問(wèn)題，桿長(zhǎng)l，兩端保持為零度，初始溫度分布2ub=?x(lx)lt=0225.在球坐標(biāo)系下將三維波動(dòng)方程uau??=0分離變量。其中，拉普拉斯算符tt在球坐標(biāo)系下的形式為22211????uu????1?u?=ur??+?sinθ?+22222rr????rrsinθ?θθθ???rsin?φur()(,,θφ=Ttv)(r),vR()r=

3、()(rYθφ,;)Y()()()θ,.φθφ=ΘΦ求出Tt()，R()r，Y()θφ,，Θ(θ)，Φ(φ)分別滿足的本征方程以及通解的形式。226.在柱坐標(biāo)系下將三維輸運(yùn)方程uau??=0分離變量。其中，拉普拉斯算符t在柱坐標(biāo)系下的形式為22211????uu??u?=ur??++222rr????rr??φzur()(,,θφ=Ttv)(r),vR()r=Φ()()()rZφz.求出Tt()，R()r，Φ()φ，Z()z分別滿足的本征方程以及通解的形式。7.在半徑為r的球的(1)內(nèi)部，(2)外部求解定解問(wèn)題02??=u

4、0,???u2221=cosθ??cos?+cos.??r3?rr=08.均勻中空介質(zhì)球殼，內(nèi)半徑為r，外半徑為rr(>)，殼層內(nèi)介電常數(shù)為ε，121殼層外和中間空心部分為真空。把介質(zhì)球殼放在點(diǎn)電荷4πεq的電場(chǎng)中，球心跟0點(diǎn)電荷相距dr()>，求解介質(zhì)球殼外、介質(zhì)球殼區(qū)域、和中間空心區(qū)域內(nèi)的靜2電場(chǎng)中的電勢(shì)。∞1l勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)為=∑hPl()cosθ,h<1212cos?+hhθl=029.半徑為ρ而高為L(zhǎng)的圓柱，下底保持溫度u，上底溫度分布為uρ，側(cè)面溫012度分布為uz，求解柱體內(nèi)各點(diǎn)的穩(wěn)恒溫度。0210.圓

5、柱體半徑為ρ而高為L(zhǎng)，下底溫度分布為uρ，上底溫度保持為u，側(cè)001面絕熱，求柱體內(nèi)的穩(wěn)恒溫度分布。