利用面積法解一類線段關(guān)系問題

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1、利用面積法解一類線段關(guān)系問題武漢市新洲區(qū)邾城二中雷昕（430000）幾何圖形面積與線段、角、弧等有著密切關(guān)系，借助面積極法不但可證明各種幾何圖形中的面積等量關(guān)系，還可證某些線段相等，角的相等關(guān)系以及線段之間的比例式等多種類型的幾何題，用面積法證題，關(guān)鍵在于利用題目的特點(diǎn)，分析相應(yīng)圖形面積之間的關(guān)系，推出幾何題中相應(yīng)邊角關(guān)系。下面通過實(shí)例分析，說明如何借助面積找線段關(guān)系。實(shí)例：1、已知ΔABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求證：證明：根據(jù)三角形面積公式得SΔABC＝×CE＝BD×AC∴AB·CE＝BD·AC∴評(píng)析：BD和CE分別是ΔABC的高，而高又與面積相關(guān)，用不同邊上高表示三角形面積

2、，由同一個(gè)三角形面積相等，快速確定找出線段比例關(guān)系，即找到三角形相似關(guān)系。實(shí)例：2、ΔABC中，∠A＝90°，D是AC上一點(diǎn)，BD＝DC，P是BC上一點(diǎn)，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，求證：PE+PF＝AB證明：∵SΔPDB+SΔPCD＝SΔBCD∴×BD×PE+×CD×PF＝CD×AB∵CD＝BD∴PE+PF＝AB評(píng)析：PE、PF、AB分別是ΔPBD、ΔPCD、ΔBCD的高，ΔPBD、ΔPCD面積和等于ΔBCD面積。證明線段和差問題，借助等式中的線段恰好是相應(yīng)三角形的高，利用面積來建立線段關(guān)系，約去兩邊的等線段得出求證結(jié)論。實(shí)例：3、平行四邊形ABCD對(duì)角線上有一點(diǎn)E，作EF⊥AB于F，

3、EG⊥AD于G，求證：EF：EG＝AD：AB證明：作EK∥CD、EH∥CB∵EF⊥AB，EG⊥AD∴S平行四邊形AHEK＝EF×AH＝EG×AK∴又∵EK∥CD∴EH∥BC∴∴即又∵∴評(píng)析：證線段成比例，聯(lián)想到平行線截線段成比例關(guān)系，與分點(diǎn)E有關(guān)系，之所以過E作平行線構(gòu)造新的平行四邊形，借助平行四邊形的面積來轉(zhuǎn)換關(guān)系，由面積關(guān)系得比例式，從而推出結(jié)論。實(shí)例4、D、E分別是ΔABC邊AC、AB上的點(diǎn)，BD、CE相交于O，ΔOBE、ΔOBC、ΔOCD面積分別為15、30、24，求AE：BE解：作DF∥EC交AB于F，ΔOBE、ΔOBC同高，∴同理設(shè)OE＝m，OD＝4n，OC＝2m，OB＝5n∵D

4、F∥EC∴ΔBOE∽ΔBDFΔADF∽ΔACE∴∴∴BE=EFDF=OE=又∵∴∴∴AE=EF∴評(píng)析：抓住ΔOBE與ΔOBC同高，借助面積積找同樣借ΔOBC與ΔOCD同高，借助面積找最后進(jìn)一步借助平行線截線段成比例運(yùn)用上述線段之比找實(shí)例5、設(shè)G是ΔABC的重心，三條中線AM、BN、CH交于G，r是ΔABC內(nèi)切圓半徑，點(diǎn)G到邊BC=a，CA=b，AB=c的距離分別為GD、GE、GF，探求與ΔABC內(nèi)切圓半徑r的關(guān)系。解∵AM、BN、CH是ΔABC三條中線，則有SΔAGB=SΔAGC=SΔBGC=SΔABC∵SΔBGC=BC·GD同理∴借用關(guān)系式r是ΔABC內(nèi)切圓半徑SΔABC＝∴評(píng)析：運(yùn)用ΔA

5、BC重心分割三角形面積特征，分成相等三部分，SΔAGB＝SΔAGC＝SΔBGC＝SΔABC，從表示三個(gè)部分著手，用面積表示GD、GE、GF的倒數(shù)關(guān)系，再運(yùn)用ΔABC內(nèi)切圓半徑和三邊關(guān)系表示ΔABC的面積，將部分與整體有機(jī)結(jié)合，探求其倒數(shù)和與三角形內(nèi)切圓半徑的關(guān)系。