第二部分專題三第二講沖刺直擊高考.doc

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1、1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N+)，且Sn的最大值為8.(1)確定常數(shù)k，并求an；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)當(dāng)n＝k∈N＋時(shí)，Sn＝－n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16，因此k＝4，從而an＝Sn－Sn－1＝－n(n≥2)．又因?yàn)閍1＝S1＝，所以an＝－n.(2)因?yàn)閎n＝＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋＋，2Tn＝2＋2＋＋＋…＋.所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－＝4－－＝4－.2．(2012·鄭州模擬)

2、已知等差數(shù)列{an}滿足：a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝an＋qan(q>0)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則由a5＝9，a2＋a6＝14，得解得所以{an}的通項(xiàng)an＝2n－1.(2)由an＝2n－1得bn＝2n－1＋q2n－1.當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋…＋q2n－1)＝n2＋；當(dāng)q＝1時(shí)，bn＝2n，則Sn＝n(n＋1)．所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝

3、3．(2012·武漢模擬)已知前n項(xiàng)和為Sn的等差數(shù)列{an}的公差不為零，且a2＝3，又a4，a5，a8成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)是否存在正整數(shù)對(duì)(n，k)，使得nan＝kSn？若存在，求出所有的正整數(shù)對(duì)(n，k)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：(1)因?yàn)閍4，a5，a8成等比數(shù)列，所以a＝a4a8.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則(a2＋3d)2＝(a2＋2d)(a2＋6d)．將a2＝3代入上式化簡(jiǎn)整理得d2＋2d＝0.又因?yàn)閐≠0，所以d＝－2.于是an＝a2＋(n－2)d＝－2

4、n＋7，即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－2n＋7.(2)假設(shè)存在正整數(shù)對(duì)(n，k)，使得nan＝kSn，則由(1)知Sn＝＝6n－n2.于是k＝＝＝＝2＋.因?yàn)閗為正整數(shù)，所以n－6≤5，即n≤11，且5能被n－6整除，故當(dāng)且僅當(dāng)n－6＝±5，或n－6＝1時(shí)，k為正整數(shù)．即當(dāng)n＝1時(shí)，k＝1；n＝11時(shí)，k＝3；n＝7時(shí)，k＝7.故存在正整數(shù)對(duì)(1,1)，(11,3)，(7,7)，使得nan＝kSn成立．4．(2012·嘉興模擬)甲、乙兩容器中分別盛有濃度為10%、20%的某種溶液500mL，同時(shí)從

5、甲、乙兩個(gè)容器中各取出100mL溶液，將其倒入對(duì)方的容器攪勻，這稱為一次調(diào)和．經(jīng)n－1(n≥2，n∈N+)次調(diào)和后甲、乙兩個(gè)容器中的溶液濃度分別為an、bn.記a1＝10%，b1＝20%.(1)試用an－1，bn－1表示an，bn；(2)求證：數(shù)列{an－bn}是等比數(shù)列，數(shù)列{an＋bn}是常數(shù)數(shù)列；(3)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式．解：(1)由題意知，an＝＝an－1＋bn－1，bn＝＝bn－1＋an－1.(2)證明：由(1)知，an－bn＝(an－1－bn－1)，又因?yàn)閍1－b1≠0，所

6、以數(shù)列{an－bn}是等比數(shù)列；an＋bn＝an－1＋bn－1＝…＝a1＋b1＝30%，所以數(shù)列{an＋bn}是常數(shù)數(shù)列．(3)因?yàn)閍1－b1＝－10%，數(shù)列{an－bn}是公比為的等比數(shù)列，所以an－bn＝－10%×n－1.又因?yàn)閍n＋bn＝30%，所以an＝－5%×n－1＋15%，bn＝5%×n－1＋15%.5．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足：log3a1＋log3a3＝4，log3a5＋log3a7＝12.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)記Tn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，

7、數(shù)列{bn}滿足：bn＝；若存在n∈N*，使不等式m<(b1＋b2＋…＋bn)n成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：(1)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q，根據(jù)題意得a1a3＝a＝34，則a2＝32，同理得a6＝36，由a6＝a2q4，可得q＝3.故an＝3n，n∈N*.(2)∵Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，∴bn＝＝－，∴b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－＝.設(shè)f(n)＝n，則f(n＋1)－f(n)＝－n·≤0，∴f(1)＝f(2)>f(3)>f(4)>…，∴f(n)≤f(1)＝.故m的取值范

8、圍是.6．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝2,3Sn＝5an－an－1＋3Sn－1(n≥2)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝(2n－1)an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；(3)若cn＝tn[lg(2t)n＋lgan＋2](0