高斯平面直角坐標(biāo).doc

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1、高斯平面直角坐標(biāo)系大地坐標(biāo)系是大地測量的基本坐標(biāo)系。常用于大地問題的細(xì)算，研究地球形狀和大小，編制地圖，火箭和衛(wèi)星發(fā)射及軍事方面的定位及運(yùn)算，若將其直接用于工程建設(shè)規(guī)劃、設(shè)計(jì)、施工等很不方便。所以要將球面上的大地坐標(biāo)按一定數(shù)學(xué)法則歸算到平面上，即采用地圖投影的理論繪制地形圖，才能用于規(guī)劃建設(shè)。橢球體面是一個(gè)不可直接展開的曲面，故將橢球體面上的元素按一定條件投影到平面上，總會(huì)產(chǎn)生變形。測量上常以投影變形不影響工程要求為條件選擇投影方法。地圖投影有等角投影、等面積投影和任意投影三種。其中等角投影又稱為正形投

2、影，它保證在橢球體面上的微分圖形投影到平面后將保持相似。這是地形圖的基本要求。正形投影有兩個(gè)基本條件：①保角條件，即投影后角度大小不變。②長度變形固定性，即長度投影后會(huì)變形，但是在一點(diǎn)上各個(gè)方向的微分線段變形比m是個(gè)常數(shù)k：式中：ds—投影后的長度，dS—球面上的長度。1.高斯投影的概念高斯是德國杰出的數(shù)學(xué)家、測量學(xué)家。他提出的橫橢圓柱投影是一種正形投影。它是將一個(gè)橫橢圓柱套在地球橢球體上，如下圖所示：橢球體中心O在橢圓柱中心軸上，橢球體南北極與橢圓柱相切，并使某一子午線與橢圓柱相切。此子午線稱中央子午

3、線。然后將橢球體面上的點(diǎn)、線按正形投影條件投影到橢圓柱上，再沿橢圓柱N、S點(diǎn)母線割開，并展成平面，即成為高斯投影平面。在此平面上：①中央子午線是直線，其長度不變形，離開中央子午線的其他子午線是弧形，凹向中央子午線。離開中央子午線越遠(yuǎn)，變形越大。②投影后赤道是一條直線，赤道與中央子午線保持正交。③離開赤道的緯線是弧線，凸向赤道。高斯投影可以將橢球面變成平面，但是離開中央子午線越遠(yuǎn)變形越大，這種變形將會(huì)影響測圖和施工精度。為了對長度變形加以控制，測量中采用了限制投影寬度的方法，即將投影區(qū)域限制在靠近中央子午

4、線的兩側(cè)狹長地帶。這種方法稱為分帶投影。投影帶寬度是以相鄰兩個(gè)子午線的經(jīng)差來劃分。有6°帶、3°帶等不同投影方法。6°帶投影是從英國格林尼治子午線開始，自西向東，每隔6°投影一次。這樣將橢球分成60個(gè)帶，編號(hào)為1～60帶，如下圖所示：各帶中央子午線經(jīng)度(L)可用下式計(jì)算：式中n為6°帶的帶號(hào)。已知某點(diǎn)大地經(jīng)度L，可按下式計(jì)算該點(diǎn)所屬的帶號(hào)：有余數(shù)時(shí)，為n的整數(shù)商+1。3°帶是在6°帶基礎(chǔ)上劃分的，其中央子午線在奇數(shù)帶時(shí)與6°帶中央子午線重合，每隔3°為一帶，共120帶，各帶中央子午線經(jīng)度(L)為：式中n

5、′為3°帶的帶號(hào)。我國幅員遼闊，含有11個(gè)6°帶，即從13～23帶(中央子午線從75°～135°)，21個(gè)3°帶，從25～45帶。北京位于6°帶的第20帶，中央子午線經(jīng)度為117°。2.高斯平面直角坐標(biāo)系根據(jù)高斯投影的特點(diǎn)，以赤道和中央子午線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。，中央子午線方向?yàn)閤軸，北方向?yàn)檎?。赤道投影線為y軸，東方向?yàn)檎?。象限按順時(shí)針Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ排列，如下圖所示：在同一投影帶內(nèi)y值有正有負(fù)。這對計(jì)算和使用很不方便。為了使y值都為正，將縱坐標(biāo)軸西移500km，并在y坐標(biāo)前面冠以帶號(hào)，如在第20帶，中央

6、子午線以西P點(diǎn)：在20帶中高斯直角坐標(biāo)為：高斯直角坐標(biāo)系與數(shù)學(xué)中的笛卡爾坐標(biāo)系不同，如下圖所示：高斯直角坐標(biāo)系縱坐標(biāo)為x軸，橫坐標(biāo)為y軸。坐標(biāo)象限為順時(shí)針劃分四個(gè)象限。角度起算是從x軸的北方向開始，順時(shí)針計(jì)算。這些定義都與數(shù)學(xué)中的定義不同。這樣的做法是為了將數(shù)學(xué)上的三角和解析幾何公式直接用到測量的計(jì)算上。