第2章 現(xiàn)代譜估計ppt課件.ppt

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1、第二章現(xiàn)代譜估計現(xiàn)代譜估計概述AR模型譜估計線性預測Burg算法ARMA模型譜估計擴展Prony方法多重信號分類(MUSIC)法12.1現(xiàn)代譜估計概述經(jīng)典譜估計的主要問題基于信號參數(shù)模型的譜估計方法2經(jīng)典譜估計：分辨率低（受窗函數(shù)長度的限制）;方差性能不好；方差和分辨率之間的矛盾。對平穩(wěn)信號建模:用于功率譜估計:提高分辨率，減小方差；也可用于信號的特征提取，預測，編碼及數(shù)據(jù)壓縮等。32.1現(xiàn)代譜估計概述在第一章中介紹了用參數(shù)模型來描述隨機信號的方法，如果能確定信號x(n)的信號模型，根據(jù)信號觀測數(shù)據(jù)求出模型參數(shù)，系統(tǒng)函數(shù)用H

2、(z)表示，模型輸入白噪聲方差為σw2，信號的功率譜用下式求出：按照這種思路，功率譜估計可分成三個步驟：（1）選擇合適的信號模型；（2）根據(jù)x(n)有限的觀測數(shù)據(jù)，或者它的有限個自相關函數(shù)估計值，估計模型的參數(shù);（3）計算模型輸出功率譜。4參數(shù)模型與模型譜信號測量數(shù)據(jù)1、基本思路模型（參數(shù)）（MA,AR,ARMA）確定隨機w(n)S(n)u(n)逼近即：信號的當前值是由其過去的值和輸入信號現(xiàn)在與過去的值按照模型參數(shù)線性加權組合得到。52.自回歸－滑動平均模型(ARMA(p,q)）（Pole-zeromodel）X(n

3、)的功率譜6推導：于是：73.滑動平均模型—MA(q)（Allzeromodel）84.自回歸模型—（Allpolesmodel）95.模型參數(shù)ModelParameters:10已知有限長數(shù)據(jù)或有限長的相關函數(shù)，估計的步驟為：①建立參數(shù)模型(MA,AR,ARMA,階次p,q)②由或估計的參數(shù)(解法)－－參數(shù)估計③由的參數(shù)估計【注】估計ARMA或MA的參數(shù)一般需解一組非線性方程組，估計AR模型參數(shù)通常只需解一組線性方程組。6.參數(shù)估計與譜估計11例.(白噪聲中的AR過程)12故即：白噪聲中的AR(P)過程是一個ARMA(p,

4、q)過程，其激勵噪聲是白的，方差為其中：132.2AR模型譜估計AR模型的正則方程Levinson-Durbin算法AR譜估計的自相關法AR模型階次的選擇AR模型譜估計的性質14一、AR模型的正則方程AR模型：差分方程：15目標：找到已知參數(shù)和未知參數(shù)的關系，以便求解未知參數(shù)：已知參數(shù)：求解方法：由下面的差分方程入手：兩邊同乘，求均值未知參數(shù)：?=+--=pkknuknxanx1)()()(16一、AR模型的正則方程假定、都是實平穩(wěn)的隨機信號，為白噪聲，方差為，為服從AR過程的因果信號。由AR模型的差分方程，有將上式兩邊同乘

5、以，并求均值，得17一、AR模型的正則方程(a)式中，為AR模型的單位取樣響應。由z變換的性質，當時，有。將之代入上式，有(b)18一、AR模型的正則方程綜合式(a)與式(b)，有在上述推導中，應用了實信號自相關函數(shù)的偶對稱性，即。由上式可得個方程，寫成矩陣形式為19一、AR模型的正則方程上述兩式即為AR模型的正則方程，又稱Yule-Walker方程。或20上式不考慮對稱性表示為如下形式可簡單的表示為其中，是階AR模型的系數(shù)向量，是維全零列向量，定義為(6)21AR模型的正則方程也可表示為22式(8)簡單地表示為其中，因矩陣

6、是非奇異的，有將代入式(7)中即得到。23例已知滿足實模型，即滿足如下差分方程其中，是均值為零，方差為的白噪聲。模型階數(shù)，得到二階的Yule-Walker方程取AR24所以，可以解得同樣可以用和來表示和，即2526一、AR模型的正則方程需要指出的是，上式中的自相關矩陣為Toeplitz矩陣；若是復過程，那么，則其自相關矩陣是Hermitian對稱的Toeplitz矩陣。這類矩陣具有一系列好的性質，利用這些性質，可以找到快速求解AR模型參數(shù)的高效算法。若取估計則27二、Levinson-Durbin算法Levinson-Dur

7、bin遞推算法是求解Yule-Walker方程的快速有效算法，這種算法利用了方程組系數(shù)矩陣（自相關矩陣）所具有的一系列好的性，使運算量大大減少。其推導的方法有多種，這里只介紹一種較為簡便的推導方法。在實際應用中，為避免矩陣求逆運算，降低計算量，通常并不直接求解正則方程，而是根據(jù)自相關矩陣的Toeplitz性質，利用Levinson-Durbin迭代算法進行求解。28二、Levinson-Durbin算法定義為的第個系數(shù)；為階AR模型輸入白噪聲的方差；階AR模型思路：利用Toeplitz矩陣特點，由低階高階反射系數(shù)29二、Le

8、vinson-Durbin算法計算階AR模型的參數(shù)，由(6)得對于，若已知階AR模型的參數(shù)和容易解得，模型的正則方程為30二、Levinson-Durbin算法(a)的參數(shù)，要求解的m階Yule-Walker方程為31二、Levinson-Durbin算法(b)32二、Levinson-D