《高階譜估計(jì)》PPT課件

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1、2021/9/71第三章高階譜估計(jì)3.1累積量及高階譜3.2高階譜估計(jì)3.3有色噪聲背景下的頻率估計(jì)3.4高階譜的應(yīng)用2021/9/723.1.1、累積量的定義1、隨機(jī)變量的特征函數(shù)和矩函數(shù)為的第一特征函數(shù)。其中為概率密度函數(shù)3.1累積量與高階譜2021/9/73第二特征函數(shù)：隨機(jī)變量的特征函數(shù)由于2021/9/74高斯分布的隨機(jī)變量特征函數(shù)其特征函數(shù)為:2021/9/75令則根據(jù)公式：則2021/9/761、矩函數(shù)的定義2021/9/772、累積量的定義對(duì)于隨機(jī)矢量其階數(shù)為的累量為2021/9/

2、78當(dāng)時(shí),其n階累量可記為:2021/9/79對(duì)于零均值隨機(jī)變量,三階以下的矩與累量相等,而(M-C公式):3.高階矩與高階累量的關(guān)系2021/9/7104、平穩(wěn)隨機(jī)過程的累量對(duì)于零均值實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程{x(n)},其k階矩(k階相關(guān)函數(shù))和k階累量分別為:2021/9/711為方差為斜度為峭度當(dāng)時(shí),特別稱2021/9/7125、高斯過程的累積量單個(gè)高斯隨機(jī)變量維零均值高斯隨機(jī)矢量2021/9/713其方差矩陣為其中令聯(lián)合概率密度函數(shù)為高斯隨機(jī)矢量5、高斯過程的累積量2021/9/714則特征函數(shù)為

3、：顯然，與單個(gè)變量類似，由于第二特征函數(shù)僅為的二階多項(xiàng)式，大于二階的導(dǎo)函數(shù)必然為零。5、高斯過程的累積量2021/9/715對(duì)于任何高斯隨機(jī)過程{x(n)}的階次高于二的k階累量恒等于零，即這是高階累量作為數(shù)學(xué)工具，抑制高斯噪聲的基礎(chǔ)結(jié)論2021/9/716高斯過程的高階矩只取決于二階矩,也就是高階矩不提供比二階矩更多的信息.與某一高斯過程具有相同二階矩的任意隨機(jī)過程,其k>2的高階累量是衡量該過程偏離高斯分布的量度.2021/9/717常量乘積的線性各隨機(jī)變量的對(duì)稱性3.1.2、累量的性質(zhì)202

4、1/9/718累量的性質(zhì)此性質(zhì)說明:兩統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)過程之和的累量等于各累量之和.所以,非高斯信號(hào)與獨(dú)立高斯噪聲之和的k(k>2)階累量就等于信號(hào)的累量.即累量可抑制高斯噪聲.若{x}和{y}統(tǒng)計(jì)獨(dú)立,則2021/9/719累量的性質(zhì)設(shè)有一組線性獨(dú)立的隨機(jī)變量和隨機(jī)變量y，且有：，則y的k階累積量為：其中是隨機(jī)變量的k階累積量，i=1，2，…，P.2021/9/720兩統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)向量的組合向量的累量恒為零.即若{x}與{y}統(tǒng)計(jì)獨(dú)立,則累量的性質(zhì)2021/9/721推論:如果{w(t)}是獨(dú)立

5、同分布隨機(jī)過程(I.I.d),則其累量為δ函數(shù).即式中，為常量。所以IID過程{w(t)}又稱廣義白噪聲過程2021/9/722歸一化累積量在盲解卷積中，有時(shí)希望累積量與信號(hào)的幅度無關(guān)，即W和aW的累積量是一樣的，a是非零常數(shù)。此時(shí)就要定義(p，q)階的歸一化累積量：其中不為零。通常階數(shù)p、q取為p>q。一般取q=2，這時(shí)。當(dāng)采用歸一化累積量時(shí)，顯然有成立，即歸一化累積量與信號(hào)的幅度無關(guān)。2021/9/7233.1.3、高階譜1、定義：假定隨機(jī)過程{x(n)}的k階累量是絕對(duì)可和的，則其k階譜是k

6、階累量的(k-1)維傅里葉變換，即2021/9/724當(dāng)k=3時(shí),三階譜(雙譜),并記為：四階譜(三譜)：高階譜的逆變換公式為：2021/9/725①高斯過程的k>2的k階譜恒為零；②非高斯的、廣義白噪聲過程(I.I.d.)的高階譜為平坦譜，即(常數(shù))兩種特殊的高階譜：2021/9/7262、高階譜的性質(zhì):高階譜一般為復(fù)函數(shù),即可表示相位信息2021/9/727高階譜是以2π為周期的多維周期函數(shù),即包含全部信息的主值周期,一般指下述區(qū)域:2、高階譜的性質(zhì):2021/9/728高階譜具有對(duì)稱性(源于

7、累量的對(duì)稱性),以雙譜為例此外,對(duì)于實(shí)信號(hào)還應(yīng)滿足共軛對(duì)稱性,即2、高階譜的性質(zhì):2021/9/729所以,雙譜共有12個(gè)對(duì)稱區(qū)域(如圖所示)2021/9/730綜合考慮周期性與對(duì)稱性,雙譜的主值區(qū)域?yàn)?2021/9/7312021/9/7323.2高階譜估計(jì)從己知一段樣本序列{x(1),x(2),…….,x(N)}出發(fā),進(jìn)行高階譜估計(jì)的方法,與功率譜估計(jì)類似,也可分為非參數(shù)法和參數(shù)法兩大類。3.2.1、非參數(shù)法譜估計(jì)1、基本思路：假定n<=0或n>=N+1范圍內(nèi),樣本值x(n)=0,由高階譜的定

8、義直接構(gòu)造譜估計(jì)式。2021/9/7332、優(yōu)缺點(diǎn)：非參數(shù)法高階譜估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、可以使用FFT算法。但與功率譜估計(jì)的傳統(tǒng)方法一樣，它存在以下三個(gè)主要問題：頻譜泄漏：平穩(wěn)隨機(jī)過程的樣本序列應(yīng)為雙邊無限序列，在非參數(shù)法高階譜估計(jì)中假定n<=0或n>=N+1時(shí)x(n)恒等于零，必將導(dǎo)致矩函數(shù)的估計(jì)結(jié)果被“截尾”，與傳統(tǒng)的功率譜估計(jì)方法類似，這將在所估計(jì)的高階譜中產(chǎn)生“頻譜泄漏”。為改善高階譜估計(jì)的性能，減少“頻譜泄漏”，必須對(duì)矩函數(shù)估計(jì)值進(jìn)行適當(dāng)?shù)募哟疤幚怼?021/9/7