譜估計(jì)的方法ppt課件.ppt

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1、§4.5AR譜估計(jì)的方法引言（1）主要方法本節(jié)要解決的問題是:如果不知道的自相關(guān)函數(shù),而只知道它的N個(gè)觀測數(shù)據(jù),,如何求模型的參數(shù)?通常有下列兩類方法:a)利用求的估計(jì),再用Levinson算法求模型參數(shù)的估計(jì)值;b)利用最小二乘方準(zhǔn)則,直接由信號(hào)時(shí)間序列計(jì)算模型參數(shù).本節(jié)介紹以下三種方法:—自相關(guān)法(Levinson法,或Yule-Walker法);—協(xié)方差法及修正協(xié)方差法;—Burg法.第一類方法:由先估計(jì)自相關(guān)函數(shù)——第二類方法:先估計(jì)反射系數(shù)以上方法都是基于線性預(yù)測原理,根據(jù)估計(jì)準(zhǔn)則建立求解AR系數(shù)的數(shù)學(xué)模型.(2)估計(jì)(即模型參數(shù))的準(zhǔn)則理論上,采用預(yù)測

2、誤差功率最小準(zhǔn)則,表示為(4.5.1)實(shí)際上,采用由時(shí)間平均代替集合平均的最小平方準(zhǔn)則,即(4.5.2)式中的求和范圍暫時(shí)未指定,取決于下面要討論的算法.4.5.1自相關(guān)法——Levinson遞推法(1)估計(jì)準(zhǔn)則假設(shè)信號(hào)的數(shù)據(jù)區(qū)間為,前向預(yù)測誤差濾波器的沖激響應(yīng)為,則預(yù)測誤差為,(4.5.3)上式表明,是與的卷積,其長度為.因此,式(4.5.2)可具體表示為(4.5.4)(2)預(yù)測誤差的計(jì)算式(4.5.3)的計(jì)算原理如圖4.5.1所示.由于的長度大于的長度,因此計(jì)算中需對(duì)的兩端補(bǔ)零.這相當(dāng)于長度為點(diǎn)的已知數(shù)據(jù),是由無限長數(shù)據(jù)()經(jīng)加窗后得到的.用時(shí)間平均代替集合平

3、均;用最小平方代替最小均方..參見§3.4(最小二乘自適應(yīng)濾波器)關(guān)于最小二乘準(zhǔn)則四種方法的討論.由圖可見,當(dāng)數(shù)據(jù)長度時(shí)(通常都是滿足的),計(jì)算的求和范圍是0?.(3)AR系數(shù)的求解由式(4.5.4),得圖4.5.1自相關(guān)法計(jì)算預(yù)測誤差e(n)的原理?????????????????第一個(gè)數(shù)據(jù)移入預(yù)測誤差濾波器,前向補(bǔ)零最后一個(gè)數(shù)據(jù)移出預(yù)測誤差濾波器最后一個(gè)數(shù)據(jù)剛進(jìn)入預(yù)測誤差濾波器,以后將補(bǔ)零進(jìn)入.數(shù)據(jù)長度N點(diǎn)系數(shù)長度p+1點(diǎn)(4.5.5)式中,——模型參數(shù)的維列矢量;——由取樣自相關(guān)函數(shù)(其中)構(gòu)成的取樣自相關(guān)矩陣.自相關(guān)函數(shù)估計(jì)為(4.5.6)可見,是有偏自相

4、關(guān)估計(jì).將式(4.5.5)對(duì)求導(dǎo)并令其等于零(復(fù)梯度法),可得式中的系數(shù)N是在定義.時(shí)引入的,見式(4.5.6).(4.5.7)或者寫成(4.5.8a)最小預(yù)測誤差功率(即白噪聲方差)為(4.5.8b)式(4.5.8)即為Yule-Walker方程.由此可見,自相關(guān)法也是基于解Yule-Walker方程的一種方法.Levinson-durbin遞推法是求解Yule-Walker方程的高效算法,具體方法見§3.3.利用矢量及矩陣求導(dǎo)公式:由式(4.5.5)求導(dǎo)直接可得:此式即為Yule-Walker方程.(參見清華胡廣書p311及p345).如果已知信號(hào)的個(gè)觀測數(shù)據(jù)

5、(,),利用Levinson遞推法計(jì)算功率譜的流程見西電教材圖4.5.1.(4)說明a)由個(gè)自相關(guān)函數(shù)的估值,利用Levinson遞推法求解Yule-Walker方程所得的AR模型參數(shù)等效于前向預(yù)測器的系數(shù),AR模型激勵(lì)白噪聲的方差等效于前向預(yù)測的最小預(yù)測誤差功率.b)自相關(guān)法計(jì)算相對(duì)簡單,但需事先根據(jù)已知觀測數(shù)據(jù)估計(jì)自相關(guān)函數(shù)(采用有偏估計(jì)).在計(jì)算預(yù)測誤差時(shí)因作了加窗處理,結(jié)果使得分辨率降低.數(shù)據(jù)越短,分辨率越低,可能還會(huì)出現(xiàn)譜峰頻率偏移與譜線分裂(即在信號(hào)譜峰附近產(chǎn)生虛假譜線).4.5.2協(xié)方差法與修正協(xié)方差法1.協(xié)方差法(1)估計(jì)準(zhǔn)則(4.5.9)注意:本

6、算法仍采用前向預(yù)測誤差,其求和范圍是.(2)預(yù)測誤差功率計(jì)算計(jì)算原理如圖4.5.2所示.特點(diǎn):為回避“加窗處理”而引入的頻譜卷積效應(yīng),即避免在數(shù)據(jù)段以外補(bǔ)零,本算法“規(guī)定”在第一個(gè)數(shù)據(jù)移至位置時(shí)開始計(jì)算;而當(dāng)最后一個(gè)數(shù)據(jù)移至?xí)r結(jié)束計(jì)算.計(jì)算時(shí)僅使用了已獲得的觀測數(shù)據(jù),未在數(shù)據(jù)兩端補(bǔ)零,因此,實(shí)際長度為.(3)AR系數(shù)的求解使用復(fù)梯度法使預(yù)測誤差功率達(dá)到最小,可得(4.5.10)圖4.5.2協(xié)方差法計(jì)算預(yù)測誤差e(n)的原理(三個(gè)不同時(shí)刻的計(jì)算狀態(tài):每個(gè)參數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)際的數(shù)據(jù)值)???????????????結(jié)束計(jì)算開始計(jì)算??協(xié)方差矩陣式中(4.5.11)稱為協(xié)

7、方差函數(shù).白噪聲的方差為(4.5.12)由式(4.5.10)?(4.5.12)即可解出AR模型參數(shù)估值和功率譜.(4)說明式(4.5.10)和(4.5.12)構(gòu)成協(xié)方差方程.由于式中不能表示為的函數(shù),所以協(xié)方差矩陣不是Toeplitz矩陣,不能采用Levinson遞推法求解.b)協(xié)方差函數(shù)有兩個(gè)變量,故適合于非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào).c)這種方法類似于自相關(guān)法,但其分辨率優(yōu)于自相關(guān)法,并可有效地估計(jì)正弦信號(hào)頻率.2.修正協(xié)方差法(1)估計(jì)準(zhǔn)則?注意:模型參數(shù)包括:使用前向和后向預(yù)測誤差功率平均值最小準(zhǔn)則,即(4.5.13)式中,和是前向和后向預(yù)測誤差功率,分別表示為(4.5

8、.14)(