第八章 剛體定點運動的動力學(xué)ppt課件.ppt

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1、本章主要介紹運用質(zhì)點系的三大定理解決剛體定點運動動力學(xué)問題。第八章剛體定點運動的動力學(xué)主要內(nèi)容:歐拉角歐拉運動學(xué)方程剛體定點運動的角動量和動能慣量張量歐拉動力學(xué)方程歐拉-潘索情況§11.1歐拉角歐拉運動學(xué)方程一.歐拉角固定坐標系:固定在剛體上的動坐標系:.確定z軸的位置:進動章動二.歐拉運動學(xué)方程動系中:------歐拉運動學(xué)方程§11.2剛體定點運動的角動量和動能慣量張量本節(jié)介紹剛體作定點運動時具有的動量、角動量、動能的計算。一.剛體做定點運動時對定點的角動量的計算可知一般與不共線,只在某些特殊方向上∥試推導(dǎo)上式分量形式:令:剛體對x軸的軸轉(zhuǎn)動慣量剛體對y軸

2、的軸轉(zhuǎn)動慣量剛體對z軸的軸轉(zhuǎn)動慣量及:慣量積則:(11.2.6’)現(xiàn)對上述結(jié)果進行分析：1）慣性系數(shù)決定于剛體質(zhì)量對坐標系的分布。慣性系數(shù)也可用積分形式代替（11.2.6’）式；慣量系數(shù)是點坐標的函數(shù),所以用靜止的坐標系時,剛體轉(zhuǎn)動時,慣量系數(shù)隨之而變.通常選取固著在剛體上、并隨著剛體一同轉(zhuǎn)動的動坐標系,這樣,慣量系數(shù)都是常數(shù)．張量I也可寫成并矢形式：二.慣量張量慣量張量是用來描述剛體定點轉(zhuǎn)動的慣性的物理量；而轉(zhuǎn)動慣量是描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的慣性的物理量。（11.2.6’）式用矩陣表示:線性變換關(guān)系稱為仿射變換三.慣量主軸使剛體對固定點的慣量張量中所有慣量積為零的

3、坐標系為該點（O點）的主軸坐標系。若剛體定點運動的角速度沿一主軸方向，則角動量為如何尋找慣量主軸呢？1）對均勻?qū)ΨQ的剛體，其對稱軸是軸上各點的慣量主軸。分析：某軸(設(shè)x軸)要為固定O點的慣量主軸的必要條件.設(shè)剛體以角速度繞x軸轉(zhuǎn)動,則,根據(jù)若對稱軸為X軸，剛體上有2）剛體的對稱面的法線，也是該法線所在軸上各點的慣量主軸證明：3）坐標系的兩個軸是慣量主軸，則第三個軸也是主軸，此坐標系是主軸坐標系。4）以勻質(zhì)旋轉(zhuǎn)對稱剛體的旋轉(zhuǎn)對稱軸（剛體繞此軸轉(zhuǎn)過任意角度都對稱）為一軸的坐標系是主軸坐標系。四.剛體做定點運動時的動能把式代入上式得主軸坐標系上動能表達式:其中I為剛

4、體對瞬時軸的轉(zhuǎn)動慣量.五.慣量橢球研究剛體對過定點的一個軸的轉(zhuǎn)動慣量的表達式.以剛體固定點為原點建立坐標系Oxyz坐標系，過O點的l軸方向余弦為考慮到----------------------如已知固定點的慣量張量,則可得過此點的任何軸的轉(zhuǎn)動慣量.我們從幾何圖象來描述轉(zhuǎn)動慣量隨軸方向分布的情況.在轉(zhuǎn)動軸上取一長為R的線段OP,令則P點的坐標將是代入式得P點的軌跡是:--------橢球面,反映了轉(zhuǎn)動慣量的分布情況,又稱慣量橢球.幾點說明:1)對剛體不同固定點,有不同的慣量橢球,它屬于剛體中某一點.2)慣量橢球的3個對稱軸是固定點的3個互相垂直的主軸,若,則慣

5、量橢球是個旋轉(zhuǎn)橢球;如,則慣量橢球為圓球.3)利用慣量橢球可知剛體對固定點的角動量L的方向是沿過橢球面角速度矢量與慣量橢球相交點P點的法線方向上.(證明見書P303)例題1:一勻質(zhì)薄圓盤能繞其中心O點做定點轉(zhuǎn)動,其質(zhì)量為m,半徑為R,已知英雄模范瞬時圓盤繞壺中心與盤面成角的軸以角速度轉(zhuǎn)動,試求此時圓盤對中心的角動量和圓盤的動能,以及圓盤對此軸的轉(zhuǎn)動慣量.解:建立過O點的主軸坐標系,依題意有:圓盤對O點的角動量為:圓盤的動能為:§11.3歐拉動力學(xué)方程一.歐拉動力學(xué)方程我們采用剛體固定點的主軸坐標系Oxyz,并與剛體固連,則剛體對定點的角動量為:采用動坐標系，角

6、動量定理為：所以（11.3.2)式的投影方程為:——歐勒動力學(xué)方程思考為何這里采用動坐標系,沒考慮慣性力?結(jié)合歐拉運動學(xué)方程來求解剛體定點運動問題,但這兩個方程組求解困難,到目前為止,只有在下列三種情況才得到解析解.歐勒—潘索情況:剛體不受外力矩作用的定點運動.2.拉格朗日—泊松情況:即陀螺在重力場中的運動，要求對固定點O所作的慣量橢球是一旋轉(zhuǎn)橢球,亦即3個主轉(zhuǎn)動慣量中有兩個相等，Ix=Iy,重心則位于動力對稱軸上但不與固定點重合.回轉(zhuǎn)儀.3.C.B.柯凡律夫斯卡雅情況:在這一情況下，Ix＝Iy＝2Iz,而重心則在Oxy平面上.這也是一種對稱陀螺.二.直接用角

7、動量定理和質(zhì)心運動定理外理比較簡單的定點運動問題已知剛體的運動，求作用在剛體上的約束力。例1一個均質(zhì)圓盤,由于安裝不善,渦輪轉(zhuǎn)動軸與盤面法線成交角?.圓盤質(zhì)量為m,半徑r,中心O在轉(zhuǎn)軸上,O至兩軸承A與B的距離均為a.設(shè)軸以角速度轉(zhuǎn)動,試求軸承上的壓力解：以圓盤和轉(zhuǎn)軸為系統(tǒng)，建立圓盤中心O點的主軸坐標系；為分解約束力再建對Z軸角動量知，圓盤對O點的角動量為上式在X，Y方向的投影為：質(zhì)心運動定理為：由（4）-（7）得：由上式可知，當(dāng)高速運轉(zhuǎn)部件安裝不善造成對軸承的動壓力危害很大，因而要求高速運轉(zhuǎn)部件安裝精度高，另外可通過動平稀來消除動壓力。當(dāng)時，約束力只有,其他

8、約束力為零，圓盤處于動平衡狀態(tài)，則這樣