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1、§1建立方程、定解條件方程的導(dǎo)出定解條件和定解問(wèn)題變分原理分離變量法2021/8/61.方程的導(dǎo)出本章研究調(diào)和方程（又稱拉普拉斯方程）以及泊松方程的基本定解問(wèn)題及解的性質(zhì)。(1.1)(1.2)2(1)引力位勢(shì)經(jīng)計(jì)算可得：3直接計(jì)算可得：還可進(jìn)一步驗(yàn)證：4拉普拉斯（Laplace）(1749－1827)法國(guó)分析學(xué)家、概率論學(xué)家和物理學(xué)家，法國(guó)科學(xué)院院士。1784～1785年，他求得天體對(duì)其外任一質(zhì)點(diǎn)的引力分量可以用一個(gè)勢(shì)函數(shù)來(lái)表示，這個(gè)勢(shì)函數(shù)滿足一個(gè)偏微分方程，即著名的拉普拉斯方程。5泊松（Possion）(1781-
2、1840)法國(guó)數(shù)學(xué)家、幾何學(xué)家和物理學(xué)家。1798年入巴黎綜合工科學(xué)校深造。1806年任該校教授，1812年當(dāng)選為巴黎科學(xué)院院士。對(duì)積分理論、行星運(yùn)動(dòng)理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢(shì)理論和概率論都有重要貢獻(xiàn)6(2)靜電場(chǎng)的電位勢(shì)應(yīng)用高斯公式，上式可改寫為：E是電場(chǎng)強(qiáng)度矢量,n是單位外法向量,?是電荷密度：7由區(qū)域G的任意性得：靜電場(chǎng)方程由于靜電場(chǎng)是有勢(shì)場(chǎng)，因而存在電勢(shì)u，從而靜電場(chǎng)的電勢(shì)u應(yīng)當(dāng)滿足泊松方程如果靜電場(chǎng)的某一區(qū)域里沒(méi)有電荷，即?=0，則靜電場(chǎng)方程在該區(qū)域上簡(jiǎn)化為拉普拉斯方程8(3)穩(wěn)定溫度分布92.
3、定解條件和定解問(wèn)題(1)第一邊值問(wèn)題（Dirichlet問(wèn)題）(2)第二邊值問(wèn)題（Neumann問(wèn)題）10(3)Dirichlet外問(wèn)題(4)Neumann外問(wèn)題注：當(dāng)考慮外問(wèn)題時(shí)，為保證解的唯一性，還需對(duì)解在無(wú)窮遠(yuǎn)的狀況加以限制。在三維情形，通常要求：11其它邊界條件(5)第三類邊界條件(6)等值面邊界條件（總流量邊界條件）123.變分原理膜的平衡問(wèn)題：1314外力作功－＝總勢(shì)能應(yīng)變能彈性體受外力作用發(fā)生變形,變形中克服內(nèi)力（即彈性體各質(zhì)點(diǎn)間的約束力）所作的功,作為能量?jī)?chǔ)存在彈性體內(nèi)部,稱為彈性勢(shì)能或應(yīng)變能.15即
4、：16(1)問(wèn)題2的解答：171819(3)20(5)(4)即21224.分離變量法求解Laplace方程(1)矩形區(qū)域上Laplace方程的第一邊值問(wèn)題代入方程(1)得:分離變量:23由此得X，Y滿足的常微分方程：由邊界條件(2)知：得固有值問(wèn)題：解之得：24通解為其中Ak，Bk為任意常數(shù)。因此是滿足方程(1)和邊界條件(2)的解。25疊加所有的Uk，即代入邊界條件(3)，得：由特征函數(shù)系的正交性,即26得系數(shù)公式解得：27(2)圓形區(qū)域上Laplace方程的第一邊值問(wèn)題28(3)(4)即：29由此得R,?滿足的常
5、微分方程：由周期性條件(4)得:固有值問(wèn)題的討論：得固有值問(wèn)題：(5)30(6)31因此是滿足方程(1)和自然邊界條件(3)以及周期性條件(4)的解。由疊加原理，滿足(1)(3)(4)的解可表為：32代入邊界條件(2)得：故33代入級(jí)數(shù)得：證明3435設(shè)對(duì)于(某一集合內(nèi)的)任意一個(gè)函數(shù)y(x),有另一個(gè)數(shù)J[y]與之對(duì)應(yīng),則稱J[y]為y(x)的泛函.泛函的概念36可以仿照函數(shù)極值必要條件的導(dǎo)出辦法,導(dǎo)出泛函取極值的必要條件.泛函的極值37對(duì)泛函求極值的問(wèn)題稱為變分問(wèn)題;使泛函取極值的函數(shù)稱為變分問(wèn)題的解或極值函數(shù)。
6、變分法基本引理如果函數(shù)滿足則在?中。38對(duì)于函數(shù)容易驗(yàn)證于是有這與假設(shè)u滿足條件(a)矛盾.證畢.39
