二次曲面與空間曲線ppt課件.ppt

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1、一、曲面及其方程二、常見的二次曲面及其方程三、空間曲線及其方程四、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影五、小結(jié)一、曲面及其方程定義1.如果曲面S與方程F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面S上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程則F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程故所求方程為例1求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)方程.特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即依題意距離為R的軌跡表示上(下)球面.二、常見的二次曲面及其方程1.柱面引例分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿足方程解在xOy面上，表示圓C,過此點(diǎn)

2、作對任意z,平行z軸的直線l,在圓C上任取一點(diǎn)沿圓周C平行于z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間柱面.表示圓柱面其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,定義2.平行定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L形成的軌跡叫做柱面.C叫做準(zhǔn)線,L叫做母線.?表示拋物柱面,母線平行于z軸;準(zhǔn)線為xOy面上的拋物線.z軸的橢圓柱面.?z軸的平面.?表示母線平行于(且z軸在平面上)表示母線平行于定義3一條平面曲線2.旋轉(zhuǎn)曲面繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:建立yOz面上曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn)給定

3、yOz面上曲線C:則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到例2試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解在yOz面上直線L的方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方例3.求坐標(biāo)面xOz上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞x軸旋轉(zhuǎn)繞z軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為討論二次曲面性狀的截痕法：用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌．以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面．1.橢球面橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線：橢球面與平面的交線為橢圓同理與平面和的交線也是橢圓.

4、2.拋物面（與同號(hào)）橢圓拋物面用截痕法討論：（1）用坐標(biāo)面與曲面相截截得一點(diǎn)，即坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)原點(diǎn)也叫橢圓拋物面的頂點(diǎn).當(dāng)變動(dòng)時(shí)，這種橢圓的中心都在軸上.與平面的交線為橢圓.與平面不相交.（2）用坐標(biāo)面與曲面相截截得拋物線與平面的交線為拋物線.它的軸平行于軸頂點(diǎn)（3）用坐標(biāo)面，與曲面相截均可得拋物線.同理當(dāng)時(shí)可類似討論.zxyoxyzo橢圓拋物面的圖形如下：特殊地：當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面（由面上的拋物線繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的）與平面的交線為圓.當(dāng)變動(dòng)時(shí)，這種圓的中心都在軸上.（與同號(hào)）雙曲拋物面（馬鞍面）用截痕法討論：設(shè)圖形如下：xyzo3.雙曲面單葉雙曲面（1）

5、用坐標(biāo)面與曲面相截截得中心在原點(diǎn)的橢圓.圖8-3-9與平面的交線為橢圓.當(dāng)變動(dòng)時(shí)，這種橢圓的中心都在軸上.截得中心在原點(diǎn)的雙曲線.實(shí)軸與軸相合，虛軸與軸相合.雙曲線的中心都在軸上.與平面的交線為雙曲線.實(shí)軸與軸平行,虛軸與軸平行.實(shí)軸與軸平行,虛軸與軸平行.截痕為一對相交于點(diǎn)的直線.截痕為一對相交于點(diǎn)的直線.（3）用坐標(biāo)面，與曲面相截單葉雙曲面圖形xyoz平面的截痕是兩對相交直線.雙葉雙曲面xyo三、空間曲線及其方程1.空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線C.C2.空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)

6、方程螺旋線的參數(shù)方程取時(shí)間t為參數(shù)，解螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的重要性質(zhì)：上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比．即上升的高度螺距四、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影1.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線消去變量z后得：曲線關(guān)于的投影柱面設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的特征：如圖:投影曲線的研究過程.交線C的一般方程為解從該方程組中消去變量z，得交線C的投影柱面方程為，所以交線C在XOY面上的投影曲線為例6求曲線在坐標(biāo)面上的投影.解（1）消去變量z后得在面上的投影為所以在面上的投影為線段.（3）同理在面上的投影也為線段.（2）因?yàn)榍?/p>

7、線在平面上，2.空間立體在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域解柱面和錐面的交線為消去變量z,得到這是兩曲面交線關(guān)于XOY面的投影柱面，故立體在XOY面上的投影區(qū)域同樣可得到該立體在XOZ平面和YOZ平面上的投影區(qū)域分別為五、小結(jié)1.曲面及方程球面旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z軸的旋轉(zhuǎn)曲面:柱面如,曲面表示母線平行z軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.2.常見的二次曲面及方程三元二次方程橢球面拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓錐面:3.空間曲線三元方程組或參數(shù)方程4.求投影曲線(如,圓柱螺線)思考與練習(xí)？思考題解答交線方程為在面上的投影為圖8-4-

8、11