Chapter054-6函數(shù)極值單調(diào)性凹凸性作圖ppt課件.ppt

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1、Chap5―4函數(shù)的單調(diào)性和極值定理1設(shè)f?C[a,b]?D(a,b),則f(x)在[a,b]上單調(diào)增加??x?(a,b)有f'(x)?0.f'(x)>0是f(x)嚴(yán)格單調(diào)增加的充分不必要條件!如f(x)=x3在(–?,+?)上嚴(yán)格單調(diào)增加,但f'(0)=0.問題f(x)嚴(yán)格單調(diào)的充要條件是什么?一、函數(shù)的單調(diào)性試一試單調(diào)減少的充要條件！定理2設(shè)f?C[a,b]?D(a,b),則f(x)在[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)增加??x?(a,b),f?(x)?0,且在(a,b)任意子區(qū)間上,f'(x)不恒為0.若f?(x

2、)?0,且僅有限個點處f?(x)=0,則f(x)嚴(yán)格單調(diào)增加.函數(shù)單調(diào)區(qū)間求法1)求函數(shù)的駐點和不可導(dǎo)點;2)用上述點把函數(shù)定義域分成若干子區(qū)間;3)在子區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)的符號,確定函數(shù)單調(diào)性.例1求函數(shù)f(x)=x2/3(x–5)的單調(diào)區(qū)間.例2證明Jordan不等式例3已知當(dāng)x>0時有，證明不等式例4設(shè)e?a

3、0),且1)若在x0左側(cè),f'(x)<0,在x0右側(cè),f'(x)>0,則f(x0)為極小值;2)若在x0左側(cè),f'(x)>0,在x0右側(cè),f'(x)<0,則f(x0)為極大值;3)若在x0兩側(cè)f'(x)不變號,則f(x0)不是極值.問題若f在x0取嚴(yán)格極大值，是否必??>0,使f在(x0??,x0)遞增，在(x0,x0+?)遞減？反例考察函數(shù)在x0=0的情形！定理(第II判別法)設(shè)f(x)在x0二階可導(dǎo),且f'(x0)=0,則f"(x0)<0時,f(x0)為極大值;f"(x0)>0時,f(x0)為極小值.

4、注意前提條件f?(x0)=0,即x0是駐點！當(dāng)f?(x0)=0時,判別法失效！例5求函數(shù)f(x)=xln2x的極值.x(0,1/e2)1/e2(1/e2,1)1(1,+?)f'(x)+0–0+f(x)單調(diào)增4/e2單調(diào)減0單調(diào)增例6求函數(shù)f(x)=x2/3(x–5)的極值.x(–?,0)0(0,2)2(2,+?)f'(x)+/–0+f(x)單調(diào)增0單調(diào)減單調(diào)增例7求的極值.定理(第III判別法)設(shè)f(x)在x0處n階可導(dǎo),且f?(x0)=f??(x0)=…=f(n?1)(x0)=0,f(n)(x0)?0,

5、則(1)當(dāng)n為奇數(shù)時，f(x0)非極值；(2)當(dāng)n為偶數(shù)時，f(x0)是極值,且為2.函數(shù)最值求法最值點和極值點關(guān)系:區(qū)間內(nèi)部的最值點一定是極值點.因此最值點一定在極值點和區(qū)間端點中,從而一定在駐點,不可導(dǎo)點和區(qū)間端點中！原則若f?C[a,b]，則只需求出f在上述三類點處的函數(shù)值,再比較它們的大小就可得到f的最大值和最小值！若可導(dǎo)函數(shù)f有唯一駐點x0,且f(x0)為嚴(yán)格極大值,則f(x0)為最大值.例8求f(x)=x2e?x在[1,3]上的最值.例9證明不等式：例10作一個有蓋的圓柱形容器,若體積V為定值

6、,問底圓半徑R與高H成何比例時,容器的表面積最小(即用料最省)？若已知最值點存在于內(nèi)部,則唯一駐點x0為所求最值點.Chap5―5凸函數(shù)一、函數(shù)的凸性定義設(shè)函數(shù)f在區(qū)間I上定義,若?x1,x2?I及???(0,1)有則稱f(x)是I上的(下)凸函數(shù).試一試“上凸、嚴(yán)格凸、嚴(yán)格上凸函數(shù)”的定義！幾何意義xyx1x2?x1+(1??)x2f(?x1+(1??)x2)f(x1)f(x2)?f(x1)+(1??)f(x2)Oy=f(x)曲線(函數(shù)圖形)的凸性依函數(shù)的凸性相應(yīng)定義！二、等價定義定理設(shè)函數(shù)f在區(qū)間I上

7、定義,則下面3條等價：(i)f為I上的凸函數(shù)；(ii)?x1

8、f?CU(x0),且在x0兩側(cè)有不同的嚴(yán)格凸性,則稱x0為函數(shù)f(x)的拐點,相應(yīng)點(x0,f(x0))稱為曲線f(x)的拐點.命題函數(shù)拐點一定在二階導(dǎo)數(shù)為0和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點中.例1討論函數(shù)f(x)=

9、x

10、e?x的凸性和拐點.例2討論函數(shù)f(x)=x2/3(x–5)的凸性和拐點.x(–?,–1)–1(–1,0)0(0,+?)f?(x)–0+/+f(x)上凸拐點下凸0下凸例3(Young不等式)設(shè)a,b,p,q>0,(歷年試