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1、§1?1二階、三階行列式(一)二階行列式(二)三階行列式(一)二階行列式二階行列式對(duì)角線法則(1)當(dāng)??0或??3時(shí)?D?0?(2)當(dāng)??0且??3時(shí)?D?0?(二)三階行列式三階行列式a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31稱為三階行列式?即?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31(二)三階行列式三階行列式?a11a22a33?a12a23
2、a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31對(duì)角線法則?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31?1?0?6??10?48??58?3?0?(?1)?2?4?6?1?5?0?3?4?0?2?5?(?1)?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?
3、a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31a?b為實(shí)數(shù)?若要a2?b2?0?則a與b須同時(shí)等于零?因此?當(dāng)a?0且b?0時(shí)?給定的行列式等于零??a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31當(dāng)且僅當(dāng)a2?1?0?即
4、a
5、?1時(shí)?D?0?因此可得D?0的充分必要條件是
6、a
7、?1?§1?2n階行列式(一)排列與逆序(二)n階行列式的定義(一)排列與逆序n級(jí)排列由n個(gè)不同數(shù)碼1?2?????n組成的有序數(shù)組i1i2
8、???in?稱為一個(gè)n級(jí)排列?舉例定義1?1(逆序數(shù))在一個(gè)n級(jí)排列i1i2???in中?如果有較大的數(shù)it排在較小的數(shù)is前面(is?it)?則稱it與is構(gòu)成一個(gè)逆序?一個(gè)n級(jí)排列中逆序的總數(shù)?稱為它的逆序數(shù)?記為N(i1i2???in)?1234和3421都是4級(jí)排列?25413是一個(gè)5級(jí)排列?(一)排列與逆序n級(jí)排列由n個(gè)不同數(shù)碼1?2?????n組成的有序數(shù)組i1i2???in?稱為一個(gè)n級(jí)排列?舉例定義1?1(逆序數(shù))在一個(gè)n級(jí)排列i1i2???in中?如果有較大的數(shù)it排在較小的數(shù)i
9、s前面(is?it)?則稱it與is構(gòu)成一個(gè)逆序?一個(gè)n級(jí)排列中逆序的總數(shù)?稱為它的逆序數(shù)?記為N(i1i2???in)?1234和3421都是4級(jí)排列?25413是一個(gè)5級(jí)排列?N(1234)?0?N(3421)?5?N(25413)?6?(一)排列與逆序舉例N(1234)?0?N(3421)?5?N(25413)?6?奇排列與偶排列逆序數(shù)是奇數(shù)的排列稱為奇排列?逆序數(shù)是偶數(shù)的排列稱為偶排列?1234和25413為偶排列?3421為奇排列?由1?2?3這三個(gè)數(shù)碼組成的3級(jí)排列共有3!?6種?其排
10、列情況如下?(一)排列與逆序奇排列與偶排列逆序數(shù)是奇數(shù)的排列稱為奇排列?逆序數(shù)是偶數(shù)的排列稱為偶排列?由1?2?3這三個(gè)數(shù)碼組成的3級(jí)排列共有3!?6種?其排列情況如下?(一)排列與逆序?qū)Q在一個(gè)排列i1???is???it???in中?如果僅將它的兩個(gè)數(shù)碼is與it對(duì)調(diào)?其他數(shù)碼不變?得到另一個(gè)排列i1???it???is???in?這樣的變換稱為一個(gè)對(duì)換?記為對(duì)換(is?it)?舉例對(duì)排列21354施以對(duì)換(1?4)后得到排列24351?N(21354)?2?而N(24351)?5?可見對(duì)換后
11、奇偶性改變?定理1?1任意一個(gè)排列經(jīng)過一個(gè)對(duì)換后奇偶性改變?定理1?2n個(gè)數(shù)碼(n?1)共有n!個(gè)n級(jí)排列?其中奇偶排列各占一半?(二)n階行列式的定義觀察與思考在二階行列式和三階行列式中?(1)它們的項(xiàng)數(shù)與階數(shù)有什么關(guān)系?(2)各項(xiàng)的一般形式怎樣?(3)各項(xiàng)的符號(hào)與下標(biāo)有怎樣的關(guān)系?(二)n階行列式的定義觀察與思考定義1?2(n階行列式)一階行列式
12、a
13、就是a?n階行列式有時(shí)簡記為
14、aij
15、?用n2個(gè)元素aij(i?j?1?2?????n)組成的記號(hào)稱為n階行列式?它表示代數(shù)和其中和式中的排列j
16、1j2???jn要取遍所有n級(jí)排列?定義1?2(n階行列式)n階行列式的代數(shù)和中共有n!項(xiàng)?每一項(xiàng)都是取自不同的行、不同的列的n個(gè)元素乘積?且冠以正號(hào)的項(xiàng)和冠以負(fù)號(hào)的項(xiàng)各占一半?用n2個(gè)元素aij(i?j?1?2?????n)組成的記號(hào)稱為n階行列式?它表示代數(shù)和其中和式中的排列j1j2???jn要取遍所有n級(jí)排列?舉例說明a11a22a33a44行標(biāo)排列為1234?元素取自不同的行?列標(biāo)排列為1234?元素取自不同的列?且逆序數(shù)N(1234)?0?即元素乘積a11a22a33a4
