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1、功率譜估計一、實驗內(nèi)容信號為兩個正弦信號加高斯白噪聲，各正弦信號的信噪比均為10dB，長度為N，信號頻率分別為和，初始相位，取，取不同數(shù)值：0.3，0.25。為采樣頻率。分別用Levinson遞推法和Burg法進行功率譜估計，并分析改變數(shù)據(jù)長度、模型階數(shù)對譜估計結(jié)果的影響。二、實驗原理（一）Levinson遞推法：自相關(guān)法——列文森（Lenvison）遞推法是已知信號觀測數(shù)據(jù)，估計功率譜。它的出發(fā)點是選擇AR模型參數(shù)使預(yù)測誤差功率最小。假設(shè)信號的數(shù)據(jù)區(qū)在范圍，有P個預(yù)測系數(shù)，N個數(shù)據(jù)經(jīng)過沖激響應(yīng)為的濾波器，輸出預(yù)測誤差的長度為，因此有預(yù)測誤差功率為的長度長于數(shù)據(jù)的長度，上式中數(shù)據(jù)在以外補充
2、零點，相當于對無窮長的信號加窗處理，會引入誤差。上式對系數(shù)的實部和虛部求微分使預(yù)測誤差功率最小，得（Yule-Walker方程）式中自相關(guān)函數(shù)采用有偏自相關(guān)估計，即Levinson-Durbin算法：是一種按階次遞推的算法。它以和模型參數(shù)作為初始條件，計算模型參數(shù)；再用模型參數(shù)計算模型參數(shù)，k階模型參數(shù)由k-1階模型參數(shù)計算得到。一直計算出模型參數(shù)為止。一階AR模型的Yule-Walker方程為由該方程解出然后令，以此類推，可以得到一般遞推公式如下：稱為反射系數(shù)，。，隨著階數(shù)增加，預(yù)測誤差功率將減少或不變。由k=1開始遞推，遞推到k=p，依次得到各階模型參數(shù)，AR模型的各個系數(shù)及模型輸入白
3、噪聲方差求出后，信號功率譜用下式計算這種方法遞推效率高，當階數(shù)變化時，無需從頭計算。但需要預(yù)先估計出信號自相關(guān)函數(shù)，當觀測數(shù)據(jù)長度較短時，估計誤差較大，會出現(xiàn)譜峰頻率偏移和譜線分裂；如數(shù)據(jù)很長，估計自相關(guān)函數(shù)較準確。（二）Burg遞推法：Levinson-Durbin遞推法需要由觀測數(shù)據(jù)估計自相關(guān)函數(shù)，這是它的缺點。而伯格遞推法則由信號觀測數(shù)據(jù)直接計算AR模型參數(shù)。伯格遞推法利用Levinson-Durbin遞推公式，導(dǎo)出前向預(yù)測誤差與后向預(yù)測誤差，并按照使它們最小的原則求出，從而實現(xiàn)不用估計自相關(guān)函數(shù)，直接用觀測數(shù)據(jù)得出結(jié)果。Burg遞推法思想：借助格型預(yù)測誤差濾波器，求前向、后向預(yù)測誤
4、差平均功率，選擇使其最小，求出。之后，再利用Levinson-Durbin遞推法求模型參數(shù)和輸入噪聲方差。設(shè)信號的觀測數(shù)據(jù)區(qū)間：,前向、后向預(yù)測誤差功率分別用和表示，預(yù)測誤差平均功率用表示，公式分別為前向、后向觀測誤差公式分別為上式中，信號項的自變量最大的是n,最小的是n-p，為了保證計算范圍不超出給定的數(shù)據(jù)范圍，在和計算公式中，選擇求和范圍為：。為求預(yù)測誤差平均功率最小時的反射系數(shù)，令,將前、后向預(yù)測誤差的遞推公式代入得Burg遞推法求AR模型參數(shù)的遞推公式總結(jié)：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)三、實驗結(jié)果及分析(一）成原始信號，觀測信號，這里取，，，，。(二)Levenson
5、遞推法1、取，，或，階數(shù)不變，實驗不同數(shù)據(jù)長度對功率譜估計的影響1.1)信號長度,，，,階數(shù)功率譜估計1.2)信號長度,，,,階數(shù)功率譜估計2、2.1)信號長度,，，,階數(shù)功率譜估計2.2)信號長度,，，,階數(shù)功率譜估計３、3.1)信號長度,，，,階數(shù)功率譜估計3.2)信號長度,，，,階數(shù)功率譜估計分析：由以上三個實驗對比，可以看出當觀測數(shù)據(jù)長度較短時，估計誤差較大，會出現(xiàn)譜峰頻率偏移與譜線分裂；當數(shù)據(jù)很長時，估計自相關(guān)函數(shù)較準確，但計算量較大。2、取，，，信號長度不變，實驗不同模型階數(shù)對功率譜估計的影響1）階數(shù)M=22）階數(shù)M=43）階數(shù)M=84)階數(shù)M=16分析：由以上幾個實驗對比，可
6、以看出當階次較低，會使譜估計產(chǎn)生偏移，降低分辨率；當階次越高，分辨率越高；當階次太高，會使估計誤差加大，譜峰分裂。(三)Burg遞推法1、取，，或，階數(shù)不變，實驗不同數(shù)據(jù)長度對功率譜估計的影響1.1)信號長度,，，,階數(shù)功率譜估計Elapsedtimeis0.seconds.1.2)信號長度,，,,階數(shù)功率譜估計Elapsedtimeis0.seconds.2、2.1)信號長度,，，,階數(shù)功率譜估計Elapsedtimeis0.seconds.2.2)信號長度,，，,階數(shù)功率譜估計Elapsedtimeis0.seconds.3、3.1)信號長度,，，,階數(shù)功率譜估計Elapsedtime
7、is0.seconds.3.2)信號長度,，，,階數(shù)功率譜估計Elapsedtimeis0.seconds.分析：由以上三個實驗對比，可以看出當觀測數(shù)據(jù)長度較短時，估計誤差較大，會出現(xiàn)譜峰頻率偏移與譜線分裂；當數(shù)據(jù)很長時，估計自相關(guān)函數(shù)較準確，但計算量較大。頻率越靠近的譜估計，需要的階數(shù)越高。３、取，，，信號長度不變，實驗不同模型階數(shù)對功率譜估計的影響Ｍ=4M=8Elapsedtimeis0.seconds.Elapse
