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1、功率譜估計淺談摘要：介紹了幾種常用的經典功率譜估計與現(xiàn)代功率譜估計的方法原理，并利用Matlab對隨機信號進行功率譜估計，對兩種方法做出比較，分別給出其優(yōu)缺點。關鍵詞：功率譜；功率譜估計；經典功率譜估計；現(xiàn)代功率譜估計前言功率譜估計是從頻率分析隨機信號的一種方法,一般分成兩大類:一類是經典譜估計;另一類是現(xiàn)代譜估計。由于經典譜估計中將數(shù)據工作區(qū)以外的未知數(shù)據假設為零，這相當于數(shù)據加窗，導致分辨率降低和譜估計不穩(wěn)定?，F(xiàn)代譜估計則不再簡單地將觀察區(qū)外的未知數(shù)據假設為零，而是先將信號的觀測數(shù)據估計模型參
2、數(shù)，按照求模型輸出功率的方法估計信號功率譜，回避了數(shù)據觀測區(qū)以外的數(shù)據假設問題。周期圖、自相關法及其改進方法(Welch)為經典(非參數(shù))譜估計方法,其以相關和傅里葉變換為基礎,對于長數(shù)據記錄較適用,但無法根本解決頻率分辨率低和譜估計穩(wěn)定性的問題,特別是在數(shù)據記錄很短的情況下,這一問題尤其突出。以隨機過程的參數(shù)模型為基礎的現(xiàn)代參數(shù)法功率譜估計具有更高的頻率分辨率和更好的適應性,可實現(xiàn)信號檢測或信噪分離,對語音、聲納雷達、電磁波及地震波等信號處理具有重要意義,并廣泛應用于通信、自動控制、地球物理等領
3、域。在現(xiàn)代參數(shù)法功率譜估計方法中,比較有效且實用的是AR模型法，Burg譜估計法,現(xiàn)代譜估計避免了計算相關,對短數(shù)據具有更強的適應性,從而彌補了經典譜估計法的不足,但其也有一些自身的缺陷。下面就給出這兩類譜估計的簡單原理介紹與方法實現(xiàn)。經典譜估計法經典法是基于傳統(tǒng)的傅里葉變換。本文主要介紹一種方法：周期圖法。周期圖法由于對信號做功率譜估計，需要用計算機實現(xiàn)，如果是連續(xù)信號，則需要變換為離散信號。下面討論離散隨機信號序列的功率譜問題。連續(xù)時間隨機信號的功率譜密度與自相關函數(shù)是一對傅里葉變換對，即：若
4、是的抽樣序列，由序列的傅里葉變化的關系，可得即與也是一對傅里葉變換對。顯然，由序列傅里葉的頻譜特性可知是以為周期的。而實際計算只能從離散隨機信號序列x(n)的有限長(長度為N)的數(shù)據來對與進行估計。設有限長離散序列為x(n),則：由DFT的下列卷積特性：若，則：從而：即綜上所述，先用FFT求出隨機離散信號N點的DFT，再計算幅頻特性的平方，然后除以N，即得出該隨機信號的功率譜估計。由于這種估計方法在把離散化的同時，使其功率譜周期化，故稱之為“周期圖法”，也稱為經典譜估計法。周期圖法進行譜估計，是有
5、偏估計，由于卷積的計算過程會導致功率譜真實值的尖峰附近產生泄漏，相對地平滑了尖峰值，因此造成譜估計的失真。另外，當N∞時，功率譜估計的方差不為零，所以不是一致性估計。并且功率譜估計在等于整數(shù)倍的各數(shù)字頻率點互不相關。其譜估計的波動比較顯著，特別是當N越大、越小時，波動越明顯。但如果N取得太小，又會造成分辨率的下降。圖1.原始信號1圖2原始信號1的功率譜估計圖3.原始信號2圖4.原始信號2的功率譜估計圖5.平均周期圖法(4*256)圖6.平均周期圖法(重疊一半)圖1所示的信號為，其中，randn是正
6、態(tài)分布隨機數(shù)組，N為256，t是從0到1，dt為1/256。圖2為該信號的功率譜估計。圖2所示的信號為，其中，randn是正態(tài)分布隨機數(shù)組，N為1024，t是從0到1，dt為1/1024。圖4為該信號的功率譜估計。圖5是將圖2所示的信號分為四段，每段的范圍分別為(1,256),(257,512),(513,768),(768,1024).每一道都沒有重疊。然后對分段分別作傅里葉變換，再把功率譜加起來做平均，得到圖5。圖6是將圖2所示的信號分為六段，分別為(1:256)，(129:384)，(257
7、:512)，(385:640)，(513:768)，(641:896)，(769:1024)。每兩段之間都重合一半。圖1和圖3相比，圖1較為平滑，相應的，圖1的功率譜也比較平滑。圖5和圖6比，圖6較為平滑，這是因為圖6的譜是六段的平均。對信號加入窗函數(shù)的話，功率譜的變化也是很明顯的。圖7.加入矩形窗原始信號和512點、1024點功率譜圖8.Bartlett平均周期圖法現(xiàn)代譜估計法現(xiàn)代參數(shù)法功率譜估計方法中,比較有效且實用的是AR模型法，Burg譜估計法，在本文中介紹的是AR模型法。AR模型法經典譜
8、的主要缺點是頻率分辨率低。這是由于周期圖法在計算中把觀測到的有限長的N個數(shù)據以外的數(shù)據認為是零，這顯然與事實不符。如果把已觀測到的數(shù)據估計出一白噪聲激勵，就不必認為N個以外的數(shù)據全為零，就有可能克服經典譜估計的缺點。一個實際中的隨機過程總是可以用以下模型很好的表示：當除外的所有均為零時的形式稱為p階自回歸模型即AR模型，又稱為全極點模型。當方差為的白噪聲通過AR模型時，輸出的功率譜密度為：若已知參數(shù)及,就可以得到信號的功率譜估計。它們之間是Yule-Walker方程。解這個方程是一
