2007-2008學(xué)年第二學(xué)期《線性代數(shù)》期末考試試題(A卷).doc

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1、命題方式：統(tǒng)一命題佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院2007—2008學(xué)年第二學(xué)期《線性代數(shù)（B）》課程期末考試試題（A卷）專業(yè)、班級：姓名：學(xué)號：題號一二三四五六七八九十十一十二總成績得分一、填空題：（滿分15分，每小題3分）1.五階行列式0.2.設(shè)是三階矩陣.已知，則128，，1.3.設(shè)矩陣，是方陣，且有意義.則是3階矩陣，是2行3列矩陣.4.設(shè)是方陣，且滿足，則A+E.5.二次型的矩陣為.二、判斷題（滿分10分，每小題2分.在你認(rèn)為正確的結(jié)論后面的括號內(nèi)打“√”，否則打“×”）：1.若一個(gè)行列式等于零，則它必有一行（列）元素全為零，或有兩行（列）完全相同，或有兩行（列）元素成比例.

2、（X）2.若矩陣、、滿足，且，則.（X）3.若矩陣的秩為，則的階子式不會(huì)全為零.（V）4.當(dāng)齊次線性方程組的方程的個(gè)數(shù)少于未知量的個(gè)數(shù)時(shí)，此齊次線性方程組一定有非零解.（V）5.若線性相關(guān)，則一定可由線性表示.（X）三、解答題：（滿分9分）計(jì)算階行列式：.解：從第二列起，后面各列都加到第一列，然后從第一列提取公因式，那么：將第一行乘以-1加到后面各行，得到一個(gè)三角行列式：所以四、解答題：（滿分9分）已知，，并且，求.解：所以所以五、解答題：（滿分9分）解線性方程組：解：方程組的增廣矩陣為：所以：六、解答題：（滿分9分）設(shè)有向量組：.求矩陣的秩，并求此向量組的一個(gè)最大無關(guān)

3、組.解：所以，分別都是這個(gè)向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。七、解答題：（滿分9分）設(shè)，問為何值時(shí)，可使⑴；⑵；⑶.解：所以（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，；（此時(shí)）（此時(shí)）（3）當(dāng)且時(shí)，八、解答題：（滿分12分）求矩陣的特征值和特征向量.解：所以A的特征根為當(dāng)時(shí)：，即所以的基礎(chǔ)解系為從而屬于的全部特征向量為：，其中不全為零。當(dāng)時(shí)：即所以的基礎(chǔ)解系為，從而屬于的全部特征向量為：。九、證明題：（滿分9分）設(shè)，且向量組線性無關(guān)，證明向量組線性無關(guān)。證明：設(shè)即重新整理得：因?yàn)橄蛄拷M線性無關(guān)，所以這個(gè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣是一個(gè)上三角矩陣：且，所以方程組只有零解，即向量組線性無關(guān)。十、證明題：

4、（滿分9分）設(shè)、都是階對稱陣，證明是對稱陣的充分必要條件是.證明：（）：已知、都是階對稱陣，是對稱陣，那么；但是，所以有；（）：已知、都是階對稱陣，并且，那么：，所以是對稱陣。