3.7取樣定理及其應(yīng)用

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1、3.7取樣定理及其應(yīng)用取樣信號(hào)數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)簡(jiǎn)單框圖取樣信號(hào)取樣示意得到：一組脈沖寬度為，間隔為Ts，幅度按連續(xù)信號(hào)f(t)包絡(luò)變化的脈沖信號(hào)fs(t)。取樣信號(hào)問題：取樣后離散信號(hào)的頻譜是什么樣的？它與未被取樣的連續(xù)信號(hào)的頻譜有什么關(guān)系？2)連續(xù)信號(hào)被取樣后，是否保留了原信號(hào)的所有信息？即在什么條件下，可以從取樣的信號(hào)還原成原始信號(hào)？取樣信號(hào)連續(xù)離散取樣還原(有條件)取樣時(shí)域頻域自然取樣理想取樣(矩形取樣)(沖激取樣)低通(掌握)帶通(了解)取樣定理取樣過程可以看成由原信號(hào)f(t)和一個(gè)開關(guān)函數(shù)p(t)的乘積來描述：1.矩形脈

2、沖的取樣(自然抽樣)取樣就是周期性的采集數(shù)據(jù)此時(shí)的抽樣脈沖p(t)是周期矩形脈沖函數(shù)。1.矩形脈沖的取樣取樣信號(hào)頻譜推導(dǎo)：由于p(t)是周期信號(hào)，可知p(t)的傅立葉變換為：令模擬帶限信號(hào)傅立葉變換為,即取樣脈沖序列的傅立葉變換為設(shè)取樣為均勻抽樣，周期為Ts，則取樣角頻率為：1.矩形脈沖的取樣其中：由頻域卷積性質(zhì)：1.矩形脈沖的取樣上式表明：信號(hào)在時(shí)域被抽樣后，它的頻譜是連續(xù)信號(hào)的頻譜以取樣角頻率為間隔，周期地重復(fù)而得到的在重復(fù)過程中，幅度被取樣脈沖p(t)的傅立葉系數(shù)所加權(quán)，加權(quán)系數(shù)取決于取樣脈沖序列的形狀。1.矩形脈沖的取樣1

3、1.矩形脈沖的取樣由以上可知：當(dāng)抽樣脈沖為矩形抽樣脈沖時(shí)，幅度以Sa函數(shù)的規(guī)律變化。抽樣后的信號(hào)頻譜包括有原信號(hào)的頻譜以及無限個(gè)經(jīng)過平移的原信號(hào)的頻譜，平移的頻率為抽樣頻率及其各次諧波頻率。且平移后的頻譜幅值隨頻率而呈Sa函數(shù)分布。但因矩形脈沖占空系數(shù)很小，所以其頻譜所占的頻帶幾乎是無限寬。取樣率的選擇：結(jié)論：取樣率必須選得大于信號(hào)頻譜最高頻率的兩倍。如果f(t)是帶寬有限的連續(xù)信號(hào)，其頻譜的最高頻率為fmHz，則以取樣間隔對(duì)信號(hào)f(t)進(jìn)行等間隔取樣，所得的取樣信號(hào)fs(t)將包含原信號(hào)f(t)的全部信息，因而可以從fs(t)完

4、全恢復(fù)出原信號(hào)f(t)。時(shí)域取樣定理：奈奎斯特取樣間隔由抽樣定理可知，要求被抽樣的信號(hào)f(t)為帶限信號(hào)，即頻帶有限的信號(hào)。其最高頻率為fm，最高角頻率ωm=2πfm，即當(dāng)

5、ω

6、＞ωm時(shí)，F(xiàn)(jω)=0。奈奎斯特取樣間隔奈奎斯特取樣頻率奈奎斯特取樣角頻率1.矩形脈沖的取樣非理想抽樣信號(hào)的傅立葉變換乘卷2.沖激信號(hào)的取樣(1)如果取樣脈沖寬度與系統(tǒng)中各時(shí)間常數(shù)相比十分小的時(shí)候，這個(gè)沖激函數(shù)的假定將是一個(gè)很好的近似，它將使分析簡(jiǎn)化。(2)通過沖激取樣的方法來表明數(shù)字信號(hào)在數(shù)字信號(hào)處理中有著廣泛的應(yīng)用。(點(diǎn)抽樣；均勻抽樣)2.沖激信號(hào)的

7、取樣單位沖激序列可以表示為：由于?T(t)的傅立葉系數(shù)為：沖激取樣信號(hào)的頻譜也為周期性沖激形式：2.沖激信號(hào)的取樣則取樣信號(hào)為：相乘相卷時(shí)域抽樣頻域周期重復(fù)矩形脈沖抽樣和沖激抽樣的比較不滿足抽樣定理時(shí)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象2.沖激信號(hào)的取樣抽樣定理的工程應(yīng)用許多實(shí)際工程信號(hào)不滿足帶限條件w)j(1wFmwmw-102.沖激信號(hào)的取樣混疊誤差與截?cái)嗾`差比較w)j(1wFmwmw-10信號(hào)的恢復(fù)由樣值函數(shù)fs(t)及其頻譜Fs(jω)圖形可知，樣值函數(shù)fs(t)經(jīng)過一個(gè)截止頻率為ωm的理想低通濾波器，就可從Fs(jω)中取出F(jω)，從時(shí)

8、域來說，這樣就恢復(fù)了連續(xù)時(shí)間信號(hào)f(t)。即式中，H(jω)為理想低通濾波器的頻率特性。H(jω)的特性為信號(hào)的恢復(fù)據(jù)傅里葉變換的時(shí)域卷積性質(zhì)，得式中，fs(t)為Fs(jω)的傅里葉反變換。信號(hào)的恢復(fù)信號(hào)的恢復(fù)理想低通濾波器的頻率特性可表示為ω的門函數(shù)的形式：應(yīng)用傅里葉變換的對(duì)稱性，得到信號(hào)的恢復(fù)當(dāng)抽樣間隔時(shí)，上式可寫為信號(hào)的恢復(fù)卷積包絡(luò)相乘信號(hào)的恢復(fù)例：已知實(shí)信號(hào)f(t)的最高頻率為fm(Hz)，試計(jì)算對(duì)各信號(hào)f(2t)，f(t)*f(2t)，f(t)?f(2t)抽樣不混疊的最小抽樣頻率。對(duì)信號(hào)f(2t)抽樣時(shí)，最小抽樣頻率為

9、2fm(Hz)；對(duì)f(t)*f(2t)抽樣時(shí)，最小抽樣頻率為4fm(Hz)；對(duì)f(t)?f(2t)抽樣時(shí)，最小抽樣頻率為6fm(Hz)。解：根據(jù)信號(hào)時(shí)域與頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系及抽樣定理得：工程中的實(shí)際問題當(dāng)頻譜無限寬，最高頻率fm無法定，人為定后，恢復(fù)有誤差；若低通濾波截至頻率?m已知，工程上一般取若信號(hào)f(t)的帶寬?B已知，一般取