一道蘇聯(lián)賽題推廣命題的別證.doc

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1、14一道蘇聯(lián)賽題推廣命題的別證陜西省小學(xué)教師培訓(xùn)中心王凱1988年蘇聯(lián)中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽有這樣一道題：“當(dāng)x=1、0、1、2時，多項式p（x)=+取整數(shù)值.求證：對任意整數(shù)x，p(x）均取整數(shù)值?！蔽模?]、[2]對上述賽題的推廣命題：“當(dāng)x取連續(xù)n+1個整數(shù)值時，多項式（x）=都取整數(shù)值。則對任一整數(shù)x，（x)均取整數(shù)值.”(這樣的多項式稱為整值多項式)進行了證明。本文意在給出這個推廣命題的一個別證。證明：設(shè)當(dāng)x取n+1個相鄰整數(shù)、+1、+2、…、+n（∈Z)時，、、、…、都是整數(shù).因n+1階范得蒙行列式（k∈Z）D=≠0，用

2、表示D中第n+1行第j列元素的余子式,那么。從而有，依次給第(=1、2、3、…、n)行元素乘以，全部加到第n+1行的對應(yīng)元素上去,得，按第n+1行展開得=。故有在中令，則知是整數(shù)。在遞推式(k∈Z）中依次取、、…、（t∈Z)，則依次可以遞推出、、…、(t∈Z)都是整數(shù).但（t∈Z)取遍了所有的整數(shù),故知(x）是整值多項式.證畢.筆者以為上述證明比文［1］、[2]簡潔明了.利用還可以證明：命題1若(x)是一元n次多項式，以n+1個相鄰整數(shù)代入多項式中的x,（x)的值都能被整數(shù)m整除,則對任意整數(shù)x，(x）也能被m整除。命題2對

3、于一元n次多項式,，在諸（j=1、2、3、…、n+1)中至少有一個不小于.讀者不妨一試.參考文獻[1]劉卓雄，對一道蘇聯(lián)競賽題的深思，《福建中學(xué)數(shù)學(xué)》，1990年第1期.[2］李長明，猜想、化歸和構(gòu)造，《福建中學(xué)數(shù)學(xué)》，1990年第4期.本文發(fā)表于《福建中學(xué)數(shù)學(xué)》1991年第1期。