由一道聯(lián)賽題的解法探究π的近似分?jǐn)?shù).pdf

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1、２０１５年第２期中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)２５由一道聯(lián)賽題的解法探究的π近似分?jǐn)?shù)江蘇省東臺市安豐中學(xué)崔志榮（郵編：２２４２２１）1解法聯(lián)想p由此設(shè)∈（０．１４，０．１５），則０．１４＜２０１４年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（福建省預(yù)賽）第qpp倡p＜０．１５，化簡得p＞７m，當(dāng)m＝１時，６題：若分?jǐn)?shù)（p，q∈N）化成小數(shù)為＝７p＋mqqpmin＝８，qmin＝５７，０．１９８?，則當(dāng)q取最小值時，p＋q＝．８１７９p１此時，的近似分?jǐn)?shù)為３＋π＝．原解由＝０．１９８?＜，知q＞５p，記５７５７q５１７９q＝５p＋m（m為正整數(shù)），由５７＝３．１４０３?∈（３

2、．１４，３．１５），大家知于是p＝０．１９８?，從而０．１９８（５p＋２２５p＋m道的約率７＝３．１４２８?π∈（３．１４，３．１５），但m）＜p＜０．１９９（５p＋m），２２１７９的分母比小得多，這說明用原解法不能求則１９．８m＜p＜３９．８m，７５７當(dāng)m＝１時，２０≤p≤３９，出符合近似要求且使分母q最小的近似分?jǐn)?shù)，究其所以p取２０時，qmin＝１０１，p＋q＝１２１．原因，是該解法利用了p＜１進(jìn)行放縮，導(dǎo)致的q７該解法主要運用了放縮思想，解題的巧妙之２２１近似分?jǐn)?shù)取不到，而未得使分母q最小的的近處在于：運用放縮后引入?yún)?shù)m，

3、從而簡化了７５似分?jǐn)?shù)，這說明需要改進(jìn)方法求的近似分?jǐn)?shù)．運算．受此啟發(fā)，筆者想到∈（３．１４１５９２６，３．π2解法改進(jìn)１４１５９２７），能否運用該方法求的近似分?jǐn)?shù)呢？π基于以上分析可知，如果不引入?yún)?shù)m進(jìn)行p１于是設(shè)＝０．１４１５９２６?＜，則q＞７p，放縮，減少放縮次數(shù)，那么求解可能會更準(zhǔn)確，通q７過反復(fù)思考，筆者將聯(lián)賽題的解法改進(jìn)如下：記q＝７p＋m（m為正整數(shù)），p同聯(lián)賽題，筆者試圖求符合近似要求且使分現(xiàn)解由０．１９８＜＝０．１９８?＜０．１９９，q母q最小的近似分?jǐn)?shù)，首先，試求與的小數(shù)點后π１０００q１０００得＜＜，２位都

4、相等的近似分?jǐn)?shù)．１９９p１９８要迅速判斷其可行性，然后組織學(xué)生討論，以師的課堂去感受他們駕馭課堂的大師風(fēng)范，為提高生、生生互動的形式讓學(xué)生自我決定其可行性，自己的課堂駕馭能力打下堅實的基礎(chǔ)．隨即展開解題活動；若學(xué)生同時呈現(xiàn)多種解法，則需要教師引導(dǎo)學(xué)生通過對多種方法的比對，確參考文獻(xiàn)定最優(yōu)解法以此來優(yōu)化學(xué)生的思維．這就要求我１渠東劍．啟發(fā)思維重于誘導(dǎo)結(jié)果［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參們的教師要不斷充實自己的專業(yè)底氣，使自己的考（上旬），２０１３，（１０）：５‐８教學(xué)更嫻熟、更自然、更給力．在信息化高速發(fā)達(dá)２章建躍．中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個論題［J

5、］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），２０１０，（３）：２‐５的今天，我們可以通過訂閱數(shù)學(xué)雜志、觀看名師（收稿日期：２０１５‐０１‐２３）授課視頻和參加名師講座等途徑來學(xué)習(xí)和品味名師、專家們的優(yōu)秀教學(xué)案例，零距離走進(jìn)他們２６中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)２０１５年第２期７７即５．０２５p＜q＜５．０５１p，１０１０p＜q＜p，１４１５９２７１４１５９２６為使q最小，令q＝５p＋１，則０．０２５p＜１計算得＜０．０５１p，７．０６２５１０９９１０３p＜q＜７．０６２５１５９７８９５p，解得１９．６＜p＜４０，所以pmin＝２０，對應(yīng)若令q＝７p＋１，則０．０

6、６２５１０９９１０３p＜１＜qmin＝１０１，從而p＋q＝１２１．０．０６２５１５９７８９５p，從而１５．９９５＜p＜１５．９９７，能否用改進(jìn)后的解法求與的小數(shù)點π后２不存在整數(shù)p；位都相等的近似分?jǐn)?shù)呢？若令q＝７p＋２，則０．０６２５１０９９１０３p＜２＜p１００為此設(shè)∈（０．１４，０．１５），則p＜q＜q１５０．０６２５１５９７８９５p，從而３１．９９１＜p＜３１．９９４，１００２１不存在整數(shù)p；p，即６p＋p＜q＜７p＋p，１４３７若令q＝７p＋３，則０．０６２５１０９９１０３p＜３＜故當(dāng)p＝１時，qmin＝７，０．０６２５

7、１５９７８９５p，從而４７．９８７＜p＜４７．９９１，所以與的小數(shù)點后２位都π相等的近似分不存在整數(shù)p，數(shù)是２２．計算到此發(fā)現(xiàn)限制p的兩個端點值非常接７近，不能逐次計算下去，可以跳過一些取值計算，這說明用改進(jìn)后的方法求符合近似要求且在具體的運算中，筆者先后經(jīng)歷了令q＝７p＋分母最小的近似分?jǐn)?shù)，準(zhǔn)確性更高．以下筆者將１０，q＝７p＋１００，q＝７p＋２００，q＝７p＋３００，再運用此方法，求與的近似要求更高的近似πq＝７p＋２５０，q＝７p＋２４０等多次運算，具體過分?jǐn)?shù)．程本文不再贅述，最終得到：3探究的近似分?jǐn)?shù)π令q＝７p＋２４５

8、，則０．０６２５１０９９１０３p＜２４５３５５眾所周知，祖沖之的密率與的小數(shù)點＜０．０６２５１５９７８π９５p，從而３９１８．９９８＜p＜１１３３９１９．３１１，存在整數(shù)p＝３９１９；后６位都相等，那么與的小數(shù)點后６位都相等π令q＝７p＋２４４，則