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1、新新概率5.1②若X1,X2,…Xn…為隨機變量，隨著n+?,的分布將會如何？所謂“穩(wěn)定性”,粗略地說，也就是考察是否存在常數a，使從分析的角度講，這兩個問題一個是概率的極限問題，一個是分布的極限問題，相應的一系列結論分別被稱為“大數定律”、“中心極限定理”，統(tǒng)稱極限定理。①若X1,X2,…Xn…為隨機變量，而Yn=,那么隨著n+?,Yn的穩(wěn)定性如何？兩個問題21、問題的引出在n次獨立重復實驗中，事件A發(fā)生的頻率是否穩(wěn)定于A的概率？分析：nA表示n次實驗中A發(fā)生的次數，則為n次實驗中A發(fā)生的頻率,即fn(A).貝努利實驗的描述：在每次實
2、驗中，P(A)=p;各次實驗相互獨立。一、大數定律3若X1，X2，…Xn…為隨機變量序列，記若存在一個數序列a1,a2,…an…，使得對任意?>0有則稱{Xn}服從大數定律.大數定律3）由于貝努利定理說明了大數次重復試驗下所呈現的客觀規(guī)律，所以此定理稱為貝努利大數定律。貝努利大數定律又可描述為：相互獨立且服從(0,1)分布的隨機變量序列{Xn}服從大數定律。71）車比雪夫(tchebysheff大數定律)定理設{Xn}為相互獨立的隨機變量組成的序列，且Xn（n=1，2，…）的方差有公共上界，則??>0，有2、幾個常用的大數定律證:由契比
3、雪夫不等式:……獨立、方差有公共上界的{Xn}服從大數定律.82）辛欽（Khintchine）大數定律設X1,X2,…,Xn…為獨立、同分布的隨機變量，且有相同的數學期望E（Xi）=?（i=1,2,…），則對??>0，有3）貝努利（Bernoulli）大數定律上述的貝努利大數定理又可簡述為：在獨立重復實驗中，事件A在各次實驗中發(fā)生的次數{Xi}服從大數定律。在n次獨立重復試驗中，事件A發(fā)生了nA次，且P(A)=p,則對任意正數ε有：9注：③此外還有若干其它的大數定律，如馬爾可夫大數定律等。②辛欽大數定律乃車貝雪夫大數定律之特殊情形；而貝
4、努利大數定律又可看成是辛欽大數定律之推論。④大數定理討論了獨立隨機變量Xi的平均值序列依概率收斂的問題，下面討論Xi的和序列①辛欽大數定律的意義：—X在n次獨立試驗中n個觀察值的算術平均值而?=E(X)，所以由辛欽大數定律得:X的算術平均值依概率收斂于它的數學期望,X的算術平均值穩(wěn)定于它的數學期望.10復習：1、正態(tài)分布的背景:當連續(xù)型隨機變量X可看作是許多細小的、獨立的因素的總結果，且在正常情況下，每個細小因素都不起特別作用，則一般情況下X～N（?,?2）。2、若隨機變量序列{Xi}，i=1,2,…,Xi～N（?,?2）,則問題:設X
5、1,X2,…,Xn…為獨立、同分布的隨機變量，且有E（Xi）=?,D(Xi)=?2（i=1,2,…），則可看作是許多細小的、獨立的因素的總結果，且n充分大時，每個Xi都不起特別作用，那么??111、同分布中心極限定理(林得伯格-列維Lindeberg-levy)證明：（超出）。設X1,X2,…,Xn,…獨立同分布，E（Xn）=?，D（Xn）=?2≠0，則意義：無論各R.v.Xn的分布為何,都有(當n→∞時)~N(0,1)~進而？注意條件：獨立同分布…~二、中心極限定理12當n→∞我們將有2、德莫佛—拉普拉斯(DeMoivre-Lapla
6、ce)定理設nA~B(n,p)，n=1,2,...，則對任意實數x有特別,若Xi~B(1,p),則E（Xi）=p,D(Xi)=p(1-p)（i=1,2,…）由林得貝爾格-列維中心極限定理,~N(0,1),即13說明：由此定理得：若X~B（n，p），則當n很大時有（2）對任意區(qū)間[a，b]有（1）對任意實數x，有？？近似地還記得泊松定理是怎么說的嗎？泊松定理：X~?（?）(近似地)3）若記Xi為A在第i次發(fā)生的次數,則有則德莫佛—拉普拉斯定理討論的是Xi的和序列143、幾點說明若{Xn}不同分布，但相互獨立，則在一定條件下仍有——{Xn}
7、服從中心極限定理正是依據中心極限定理，才反映出正態(tài)分布在實際中的廣泛適應性。見P97例2之后。15進而可求P{aa}等等。歸納前面所述，有~N(0,1)三、極限定理的初步應用若X?B(n,p),則n很大時,近似有若R.v.序列{Xn}獨立同分布,且E(Xn)=?,D(Xn)=?2(n=1,2,…),則近似有16例1一加法器同時收到20個噪聲電壓Vi（i=1,2,…,20）,設它們是相互獨立的隨機變量，且都服從（0，1）上的均勻分 布。記V=，求P{V>105}的近似值。分析：1、Vi是獨立同分布的，且分布已知，
8、?=？,?2=？；2、要求P{V>105}，但只是近似值；——利用中心極限定理恰好可以得知的近似分布進而N(0,1)詳解略。17例2每次射擊命中目標的炮彈數的數學期望為2,均方差為1.5,求在100次射擊中
