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《最新第二章 分離變量法 數(shù)理方程課件教學(xué)講義PPT.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第二章分離變量法數(shù)理方程課件基本思想：首先求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。適用范圍：波動(dòng)問(wèn)題、熱傳導(dǎo)問(wèn)題、穩(wěn)定場(chǎng)問(wèn)題等特點(diǎn)：a.物理上由疊加原理作保證，數(shù)學(xué)上由解的唯一性作保證；b.把偏微分方程化為常微分方程來(lái)處理，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。一、有界弦的自由振動(dòng)令代入方程：令代入邊界條件1、求兩端固定的弦自由振動(dòng)的規(guī)律?分離變量?求特征值和特征函數(shù)?求另一個(gè)函數(shù)?求通解?確定常數(shù)分離變量法可以求解具有齊次邊界條件的齊次偏微分方程。2解的性質(zhì)x
2、=x0時(shí)：其中：駐波法t=t0時(shí)：例1：設(shè)有一根長(zhǎng)為10個(gè)單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為，求弦作微小橫向振動(dòng)時(shí)的位移。解：于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問(wèn)題的解為解：例2求下列定解問(wèn)題初始條件例3求下列定解問(wèn)題解：由例1中的方法知，以上特征值問(wèn)題的特征值和特征函數(shù)分別為這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問(wèn)題的解為于是得到一系列分離變量形式的特解這些特故原問(wèn)題的解為例4求下列定解問(wèn)題令
3、代入方程：解：于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問(wèn)題的解為二有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)令帶入方程：解：由例4知，以上特征值問(wèn)題的特征值和特征函數(shù)分別為滿足方程于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問(wèn)題的解為令代入方程：令例5求下列定解問(wèn)題解：由例1中的方法知，以上特征值問(wèn)題的特征值和特征函數(shù)分別為于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件
4、。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問(wèn)題的解為例6求下列定解問(wèn)題解：令于是得到一系列分離變量形式的特解若則u為多少？為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？思考這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問(wèn)題的解為若分離變量流程圖三拉普拉斯方程的定解問(wèn)題1直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯問(wèn)題解：由例1中的方法知，以上特征值問(wèn)題的特征值和特征函數(shù)分別為于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問(wèn)題的解為例7求下列定解問(wèn)題解：由例6中的方法知，以上特
5、征值問(wèn)題的特征值和特征函數(shù)分別為于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問(wèn)題的解為例8求下列定解問(wèn)題解：由例1中的方法知，以上特征值問(wèn)題的特征值和特征函數(shù)分別為于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問(wèn)題的解為2圓域內(nèi)的拉普拉斯問(wèn)題例9求下列定解問(wèn)題解：（自然邊界條件）（周期性邊界條件）周期特征值問(wèn)題(歐拉方程)令周期特征值問(wèn)題故以上周期特征值問(wèn)題的特征值和特征函數(shù)分別為（由
6、自然邊界條件）（由自然邊界條件）于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問(wèn)題的解為例10求下列定解問(wèn)題解：（周期性邊界條件）周期特征值問(wèn)題歐拉方程這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問(wèn)題的解為其他為零例11求下列定解問(wèn)題解：由例1中的方法知，以上特征值問(wèn)題的特征值和特征函數(shù)分別為（自然邊界條件）（由自然邊界條件）例11求解下列二維熱傳導(dǎo)方程的定解問(wèn)題解：由例1中的方法知，以上特征值問(wèn)題的特征值和特征函數(shù)
7、分別為于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問(wèn)題的解為例12求下列熱傳導(dǎo)方程的定解問(wèn)題解法一：令解法二：令由例1中的方法知，以上特征值問(wèn)題的特征值和特征函數(shù)分別為于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問(wèn)題的解為常用特征值問(wèn)題周期特征值問(wèn)題四非齊次方程的解法求下列定解問(wèn)題方程是非齊次的，是否可以用分離變量法？思考由線性方程的疊加原理，令：令：為什么？非齊次方程的特征函數(shù)展開(kāi)
8、法用常數(shù)變易法或拉普拉斯變換法求常微分方程的初值問(wèn)題例13求下列定解問(wèn)題解：先解對(duì)應(yīng)的齊次問(wèn)題其特征值和特征函數(shù)為例14求下列定解問(wèn)題解：令其特征值和特征函數(shù)為用常數(shù)變易法或拉普拉斯變換法求常微分方程的初值問(wèn)題例15求定解問(wèn)題解：將原問(wèn)題變換到極坐標(biāo)系下：周期特征值問(wèn)題非齊次方程的特征函數(shù)展開(kāi)法例16求定解問(wèn)題周期特征值問(wèn)題非齊次方程的特征函數(shù)展開(kāi)法五非齊次邊界條件的處理解：首先要想辦法將非齊次條件
