最新3-2-優(yōu)化理論基礎(chǔ)教學(xué)講義ppt課件.ppt

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1、3-2-優(yōu)化理論基礎(chǔ)2021/8/822021/8/832021/8/87二維無約束最優(yōu)化設(shè)計問題幾何意義f(X(1))=a2f(X)=a1f(X)=a2f(X)=a3f(X)=a4f(X(2))=a2X(2)=[x1(2),x2(2)]X(1)=[x1(1),x2(1)]Of(X)x2x1X*2021/8/882021/8/892021/8/8102021/8/8112021/8/812x1x2f(x)f(x)g(x)g1(x)g2(x)O2021/8/8132021/8/814x2x1X*1g4(X)g3(X)g1(X)g1(

2、X)X*20.25f(X)=12.253.846.25f(X)=912123O2021/8/8152021/8/816二維目標(biāo)函數(shù)等值線形態(tài)分析X1*x1x201123X2*X3*x1x2012323456X1*2021/8/8173-2約束最優(yōu)解和無約束最優(yōu)解2021/8/818二維優(yōu)化問題進(jìn)行幾何描述例對二維優(yōu)化問題進(jìn)行幾何描述。約束線、可行域、目標(biāo)函數(shù)等值線、約束極值點213x221-1-2-3-1-2-4-5x1f(X)X*g1(X)g2(X)02021/8/819幾何意義上來說明約束最優(yōu)解和無約束最優(yōu)解設(shè)已知目標(biāo)函數(shù)f(

3、X)=x12+x22-4x1+4，受約束于g1(X)=x1-x2+2?0g2(X)=x1?0g3(X)=x2?0g4(X)=-x12+x2-1?0求其最優(yōu)解X*和f(X*)。2021/8/820x1x2x2x1f(X)f(X)g1(X)g4(X)Og2(X)g4(X)g1(X)g3(X)f(X)等值線6.2543.810.251234O-212X*(1)X*(2)(b)(a)D2021/8/8212021/8/8223-3局部最優(yōu)解和全域最優(yōu)解2021/8/823X2*X1*f(X)x2x12021/8/8242021/8/825

4、2021/8/8262021/8/8272021/8/8283-4無約束目標(biāo)函數(shù)的極值點存在條件一、函數(shù)的極值與極值點以一元函數(shù)為例說明函數(shù)的極值與極值點。如圖所示為定義在區(qū)間[a，b]上的一元函數(shù)f(X)2021/8/829f(x)xf(a)f(x(1))f(x(2))x(1)f(x(3))f(b)x(3)x(2)ab2021/8/830圖上有兩個特殊點x(1)與x(2)在x(1)附近，函數(shù)f(x)的值以f(x(1))為最大；在x(2)附近，函數(shù)值以f(x(2))為最小。2021/8/831因此x(1)與x(2)即為函數(shù)的極大點

5、與極小點，統(tǒng)稱為函數(shù)f(x)的極值點。f(x(1))與f(x(2))相應(yīng)地為函數(shù)的極大值與極小值，統(tǒng)稱為函數(shù)f(x)的極值。2021/8/832需要注意，這里所謂極值是相對于—點的附近鄰域各點而言的，僅具有局部的性質(zhì)，所以這種極值又稱為局部極值。2021/8/833函數(shù)的最大值與最小值是指整個區(qū)間而言的。如圖中函數(shù)的最大值為f(b)，函數(shù)的最小值為f(a)。函數(shù)的極值并不一定是最大值或最小值。2021/8/834二、極值點存在的條件(一)一元函數(shù)(即單變量函數(shù))的情況(1)極值點存在的必要條件2021/8/835在高等數(shù)學(xué)中已經(jīng)學(xué)

6、過：如果函數(shù)f(x)的一階導(dǎo)數(shù)f’(x)存在，則欲使x*為極值點的必要條件為：f’(x*)＝02021/8/836仍以圖中所示一元函數(shù)為例，由圖可見，在x(1)與x(2)處的f’(x(1))與f’(x(2))均等于零，即函數(shù)在該兩點處的切線與x軸平行。但使f’(x)＝0的點并不一定都是極值點。2021/8/837f(x)xf(a)f(x(1))f(x(2))x(1)f(x(3))f(b)x(3)x(2)ab2021/8/838使函數(shù)f(x)的一階導(dǎo)數(shù)f’(x)＝0的點稱為函數(shù)的駐點。極值點(對存在導(dǎo)數(shù)的函數(shù))必為駐點駐點不一定是極

7、值點駐點是否為極值點可以通過二階導(dǎo)數(shù)f’’(x)來判斷。2021/8/839(2)極值點存在的充分條件若在駐點附近f’’(x)?0則該點為極大點；若在駐點附近f’’(x)?0則該點為極小點。2021/8/840在圖中的x(3)附近，其右側(cè)f’’(x)?0，但其左側(cè)f’’(x)?0，因此它不是極值點?？梢?，函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的符號成為判斷極值點的充分條件。2021/8/841函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)是指在某坐標(biāo)軸方向函數(shù)值的變化率連續(xù)可微的n維函數(shù)f(X)=f(x1,x2,…,xn)，在點X(K)=[x1(K),x2(K),…,xn(K)]T的

8、一階偏導(dǎo)數(shù)表示為，…，三、多元函數(shù)的方向?qū)?shù)、梯度和赫賽矩陣函數(shù)的梯度n維函數(shù)的梯度是函數(shù)各維一階偏導(dǎo)數(shù)組成的向量2021/8/843梯度的模是函數(shù)各維一階偏導(dǎo)數(shù)平方和的開方梯度與它的模的比值稱為梯度的單位向量2021/8/844函數(shù)梯度的性質(zhì)1、